Señales en tiempo discreto
Una senoidal de 7 kHz muestreada a 8 kHz da exactamente las mismas muestras que una de 1 kHz. En tiempo discreto, la frecuencia solo tiene sentido entre cero y la mitad de la de muestreo.
01De la señal a la secuencia
Cuando un conversor muestrea una señal cada \( T \) segundos, lo que queda es una secuencia de números \( x[n] = x(nT) \), definida solo para \( n \) entero. Lo que pasa entre muestras se perdió, y por el teorema del muestreo no importa si la señal no tenía frecuencias por encima de \( f_s/2 \). Todo el procesamiento digital trabaja sobre secuencias, y sus herramientas son las mismas que las de los circuitos, en versión discreta: la convolución, las ecuaciones en diferencias y la transformada Z en lugar de la de Laplace. La presentación de los dos tipos de señal está en señales de tiempo continuo y discreto.
02La frecuencia en tiempo discreto
Una senoidal muestreada es \( x[n] = \cos(\Omega n) \), con \( \Omega = 2\pi f / f_s \) la frecuencia normalizada en radianes por muestra. Dos propiedades la distinguen de la continua:
- Es periódica en Ω con período 2π. \( \cos((\Omega + 2\pi) n) = \cos(\Omega n) \) para todo \( n \) entero: las frecuencias \( \Omega \) y \( \Omega + 2\pi \) son indistinguibles. Es el aliasing visto desde las muestras. Solo tiene sentido el intervalo de 0 a π, que corresponde a 0 hasta \( f_s/2 \).
- No siempre es periódica en n. Solo lo es si \( \Omega / 2\pi \) es un número racional.
03Sistemas discretos
Un sistema discreto lineal e invariante queda descrito por su respuesta al impulso \( h[n] \), y la salida es la convolución discreta \( y[n] = \sum_k h[k]\, x[n - k] \). En la práctica casi todos se escriben como una ecuación en diferencias, que dice cómo calcular cada muestra de salida con las entradas y salidas anteriores:
04La transformada Z y el plano z
La transformada Z convierte el retardo de una muestra en un producto por \( z^{-1} \), y la ecuación en diferencias en una función de transferencia racional \( H(z) \). El plano z cumple el papel del plano s, relacionados por \( z = e^{sT} \):
| En el plano s | En el plano z |
|---|---|
| Eje imaginario \( j\omega \) | Circunferencia unitaria \( |z| = 1 \) |
| Semiplano izquierdo (estable) | Interior del círculo unitario |
| Polo en \( -\sigma \pm j\omega \) | Polo en \( r e^{\pm j\Omega} \), con \( r = e^{-\sigma T} \) y \( \Omega = \omega T \) |
La respuesta en frecuencia es \( H(z) \) evaluada sobre la circunferencia, \( z = e^{j\Omega} \). Un polo cerca de la circunferencia produce un pico en esa frecuencia; un cero sobre ella, una anulación.
El sistema \( y[n] = x[n] + 2r\cos\Omega_0\, y[n-1] - r^2\, y[n-2] \) tiene dos polos en \( r e^{\pm j\Omega_0} \). A la izquierda, la respuesta al impulso calculada muestra por muestra; a la derecha, los polos en el plano z; abajo, el módulo de la respuesta en frecuencia de 0 a π.
05La transformada discreta de Fourier
Para calcular el espectro de una secuencia de largo finito con una computadora se usa la DFT, que da \( N \) valores de la respuesta en frecuencia equiespaciados sobre la circunferencia unitaria. La FFT es un algoritmo que la calcula con \( N \log_2 N \) operaciones en lugar de \( N^2 \): para 4096 puntos, unas 50 000 en lugar de 16 millones. Es la herramienta que usaron los laboratorios de conversores para medir la relación señal a ruido.
06En el laboratorio
Programar el resonador del laboratorio en un microcontrolador, excitarlo con un impulso y enviar la salida a un DAC. Medir la frecuencia de oscilación con el osciloscopio.
Muestrear con un ADC senoidales de frecuencias \( f \) y \( f_s - f \) y mostrar que dan la misma secuencia.
Calcular la FFT de 1024 muestras de una señal compuesta y ubicar sus componentes en frecuencia normalizada y en hertz.
07Errores frecuentes
- Confundir la frecuencia normalizada con la analógica. Ω = π corresponde a \( f_s/2 \), no a 1 Hz.
- Olvidar que una realimentación puede hacer inestable al sistema. Basta un polo fuera del círculo unitario.
- Esperar que toda senoidal muestreada sea periódica. Solo si Ω/2π es racional.
- Tomar la DFT como el espectro continuo. Son muestras de él, con la resolución \( f_s/N \).
08Autoevaluación
¿Qué frecuencia normalizada tiene una senoidal de 1 kHz muestreada a 8 kHz?
\( \Omega = 2\pi/8 = \pi/4 \) radianes por muestra.
¿Es estable un sistema con polos en 0,9 e±j0,5?
Sí: están dentro del círculo unitario.
¿Es FIR o IIR y = 0,5x[n] + 0,5x[n−1]?
FIR: no usa salidas anteriores; su respuesta al impulso tiene dos muestras.
¿Qué resolución en frecuencia da una DFT de 1024 puntos a 48 kHz?
\( 48\,000/1024 \approx 46{,}9 \) Hz.
09Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer. Discrete-Time Signal Processing. 3.ª ed., Pearson, 2010. La referencia del procesamiento de señales discretas: secuencias, transformada Z, DFT y filtros.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. El texto de curso en castellano, con muchos ejemplos.
- Steven W. Smith. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing. California Technical Publishing, 1997. Una introducción práctica e intuitiva, de libre acceso en línea.