Transformada Z y nociones de filtrado
Lo mismo que Laplace, para secuencias. El eje imaginario se vuelve el círculo unitario, y todo lo que se sabía de estabilidad se traduce cambiando «izquierda del eje» por «adentro del círculo».
01Laplace, para secuencias
La transformada Z es a las señales discretas lo que Laplace a las continuas. La definición reemplaza la integral por una suma y la exponencial por una potencia:
Y la relación con el plano \( s \) es directa: muestrear a período \( T \) corresponde a la sustitución
que lleva el eje imaginario del plano \( s \) al círculo unitario del plano \( z \), y el semiplano izquierdo al interior del círculo. Todo lo que se sabía de estabilidad se traduce cambiando «izquierda del eje» por «adentro del círculo».
| En el plano \( s \) | En el plano \( z \) |
|---|---|
| Eje imaginario | Círculo unitario \( |z| = 1 \) |
| Semiplano izquierdo | Interior del círculo |
| Origen \( s = 0 \) | \( z = 1 \), la continua |
| \( \omega = \pi/T \), la mitad del muestreo | \( z = -1 \) |
| Estable: polos a la izquierda | Estable: polos adentro |
La cuarta fila trae una consecuencia importante: en el plano \( z \) toda la frecuencia cabe en una vuelta. Recorrer el círculo de \( z = 1 \) a \( z = -1 \) es barrer de continua hasta la mitad de la frecuencia de muestreo, y seguir girando es volver a empezar. Ahí está el aliasing, otra vez, convertido en geometría.
02Diseñar poniendo polos y ceros
De la relación anterior sale una técnica de diseño directa: un cero sobre el círculo anula esa frecuencia; un polo cerca del círculo la realza. Con eso se arman filtros a mano, sin fórmulas, sólo acomodando puntos.
A la izquierda el plano \( z \) con el círculo unitario, los polos (×) y los ceros (○), y los vectores hasta el punto de trabajo. A la derecha, el módulo de la respuesta y la respuesta al impulso.
03La región de convergencia, otra vez
Igual que en Laplace, \( X(z) \) sola no alcanza. Sólo que acá las regiones son anillos en lugar de franjas:
| Si la región… | La secuencia es… |
|---|---|
| Es el exterior del polo más lejano | Causal: vale cero para \( n \lt 0 \) |
| Es el interior del polo más cercano | Anticausal |
| Es un anillo entre polos | Bilateral |
| Contiene el círculo unitario | Tiene transformada de Fourier y el sistema es estable |
Y la conclusión de siempre, traducida: un sistema causal es estable si y sólo si todos sus polos están adentro del círculo unitario. El laboratorio lo muestra con el último caso: subiendo el radio por encima de 1, la respuesta al impulso deja de apagarse y empieza a crecer.
\( a^{n}u[n] \longleftrightarrow \dfrac{1}{1 - az^{-1}} \), con región \( |z| \gt |a| \). De ahí sale casi todo: el filtro de primer orden, la suma geométrica y la condición \( |a| \lt 1 \) para que converja. Y su versión anticausal, \( -a^{n}u[-n-1] \), tiene exactamente la misma expresión con región \( |z| \lt |a| \).
04Nociones de filtrado digital
Con la lectura geométrica alcanza para diseñar a ojo varias cosas útiles:
| Lo que se quiere | Dónde poner qué |
|---|---|
| Pasabajos | Polo cerca de \( z = 1 \), cero en \( z = -1 \) |
| Pasaaltos | Polo cerca de \( z = -1 \), cero en \( z = 1 \) |
| Rechazar una frecuencia \( f_0 \) | Par de ceros sobre el círculo en \( \pm 2\pi f_0/f_s \) |
| Resaltar una frecuencia | Par de polos cerca del círculo en ese ángulo |
| Eliminar continua | Un cero exactamente en \( z = 1 \) |
| Peine, para armónicos de la red | Ceros repartidos en múltiplos del ángulo de 50 Hz |
La regla práctica para el ancho de banda de un resonador es que un polo de radio \( r \) da un pico cuyo ancho a −3 dB vale aproximadamente \( 2(1-r) \) en radianes por muestra. Con \( r = 0{,}99 \) el pico es angostísimo; con \( r = 0{,}8 \), ancho y suave.
Si los coeficientes del filtro son reales —y lo son, porque se programan con números reales— los polos y los ceros complejos tienen que venir de a pares conjugados. No se puede poner un polo suelto en \( 0{,}9e^{j\pi/4} \) sin su gemelo en \( 0{,}9e^{-j\pi/4} \): el filtro resultante necesitaría aritmética compleja. Por eso todos los laboratorios de este tema muestran los polos de a pares simétricos respecto del eje real.
05En el laboratorio
Con \( f_s = 1 \) kHz, calcular el ángulo que corresponde a 50 Hz y ubicar el par de ceros sobre el círculo. Agregar un par de polos al mismo ángulo con \( r = 0{,}95 \) para angostar el rechazo, y escribir los coeficientes del biquad resultante.
Programar \( y[n] = 2r\cos\theta\,y[n-1] - r^2 y[n-2] + x[n] \) para \( r = 0{,}9 \), \( 0{,}99 \) y \( 0{,}999 \), medir el ancho de banda a −3 dB de cada uno y contrastarlo con la regla \( 2(1-r) \).
Con el mismo programa, subir \( r \) a 1,01 y observar la salida. Determinar en cuántas muestras desborda un acumulador de 16 bits y relacionarlo con la posición del polo.
06Errores frecuentes
- Poner un polo complejo sin su conjugado. Con coeficientes reales tienen que ir de a pares.
- Olvidar la región de convergencia. La misma \( X(z) \) describe una secuencia causal o una anticausal según la región.
- Confundir \( |z| = 1 \) con la frecuencia de muestreo. Una vuelta completa es \( f_s \); la mitad útil llega hasta \( z = -1 \).
- Poner un polo exactamente sobre el círculo. Es un oscilador, no un filtro: no es BIBO estable.
- Diseñar en el plano \( s \) y pasar al \( z \) sin cuidado. La transformación bilineal deforma el eje de frecuencias, y hay que precompensar.
07Autoevaluación
¿Qué relación hay entre los planos \( s \) y \( z \)?
\( z = e^{sT} \). El eje imaginario va al círculo unitario y el semiplano izquierdo, al interior.
¿Cuándo es estable un sistema discreto causal?
Cuando todos sus polos están adentro del círculo unitario.
¿Dónde va un cero para eliminar la continua?
En \( z = 1 \), que es el punto que corresponde a frecuencia cero.
¿Cómo se rechaza una frecuencia \( f_0 \)?
Con un par de ceros sobre el círculo en el ángulo \( \pm 2\pi f_0/f_s \).
¿Qué ancho tiene el pico de un polo de radio \( r \)?
Aproximadamente \( 2(1-r) \) radianes por muestra: cuanto más cerca del círculo, más angosto.
¿Por qué los polos complejos van de a pares?
Porque los coeficientes del filtro son reales. Un polo suelto obligaría a usar aritmética compleja.
08Para ampliar
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. La transformada Z con su región de convergencia, y el diseño de filtros por ubicación de polos y ceros.
- Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer. Tratamiento de señales en tiempo discreto. 3.ª ed., Prentice Hall, 2011. La referencia del área. El capítulo 3 es el de la transformada Z.
- Richard G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. 3.ª ed., Prentice Hall, 2010. La lectura geométrica del plano z explicada con una claridad difícil de igualar.