Transformada de Laplace
Fourier deja afuera todo lo que crece. Laplace agrega un factor de convergencia y con él entran el escalón, los sistemas inestables y las condiciones iniciales. El precio es que hay que decir siempre dónde converge.
01Para qué, si ya está Fourier
La transformada de Fourier necesita que la señal sea absolutamente integrable, y eso deja afuera a cosas tan comunes como el escalón o una exponencial creciente. La solución de Laplace es multiplicar por un factor de convergencia \( e^{-\sigma t} \) antes de transformar:
Ese \( \sigma \) es el que hace el trabajo: si la señal crece, se elige un \( \sigma \) lo bastante grande para que el producto decaiga y la integral converja. La contrapartida es que ahora hay que decir para qué valores de \( \sigma \) converge, y eso es la región de convergencia.
| Lo que agrega Laplace | Por qué importa |
|---|---|
| Transforma señales que crecen | Permite analizar sistemas inestables |
| Maneja condiciones iniciales | Un capacitor cargado entra en la cuenta |
| Convierte la ecuación diferencial en algebraica | Resolver circuitos es despejar |
| Da polos y ceros | Toda la lectura de estabilidad y respuesta |
02La región de convergencia, que no es un detalle
Acá está lo que más cuesta de Laplace y lo que más se saltea: \( X(s) \) sola no determina la señal. Hace falta además la región de convergencia, y con la misma expresión algebraica y distintas regiones se obtienen señales completamente distintas.
A la izquierda el plano \( s \) con los polos y la región de convergencia sombreada; a la derecha, la señal en el tiempo que le corresponde. Cambiá la región y mirá cómo cambia la señal sin que se mueva un solo polo.
Las tres reglas que resumen todo esto conviene tenerlas juntas:
| Si la región… | Entonces la señal… |
|---|---|
| Está a la derecha de todos los polos | Es causal: vale cero antes de \( t = 0 \) |
| Está a la izquierda de todos | Es anticausal: vale cero después de \( t = 0 \) |
| Es una franja entre polos | Es bilateral: se extiende hacia los dos lados |
| Contiene el eje \( j\omega \) | Tiene transformada de Fourier, y el sistema es estable |
La última fila es la conexión entre las dos transformadas, y también el criterio de estabilidad: un sistema causal es estable si y sólo si todos sus polos están a la izquierda del eje imaginario, porque sólo así la región causal —que arranca en el polo más a la derecha— alcanza a cubrirlo.
03La unilateral, que es la que se usa en circuitos
Para problemas con condiciones iniciales se usa la versión que integra desde cero:
Su gracia está en cómo transforma la derivada, porque ahí entra el pasado del circuito:
Con eso, un circuito se resuelve como si fuera resistivo, usando impedancias generalizadas:
| Elemento | Impedancia | La condición inicial aparece como |
|---|---|---|
| Resistor | \( R \) | No tiene |
| Capacitor | \( 1/(sC) \) | Una fuente de tensión \( v_C(0)/s \) en serie |
| Bobina | \( sL \) | Una fuente de tensión \( L\,i_L(0) \) en serie |
Dos atajos que evitan antitransformar cuando sólo interesan los extremos: \( x(0^+) = \lim_{s\to\infty} sX(s) \) y \( x(\infty) = \lim_{s\to 0} sX(s) \). El segundo tiene una condición que se olvida seguido: vale sólo si el sistema es estable. Aplicado a algo que oscila o que crece, da un número que no significa nada.
04Volver al tiempo
Para funciones racionales, que es lo que sale de cualquier circuito, el camino es fracciones simples: se factorea el denominador, se separa en términos de un polo cada uno, y cada término se antitransforma con la tabla. Y ya se vio que los coeficientes de esas fracciones son los residuos, de modo que las dos técnicas son la misma.
| \( X(s) \) | \( x(t) \) para \( t \ge 0 \) |
|---|---|
| \( 1/s \) | \( 1 \), el escalón |
| \( 1/s^2 \) | \( t \), la rampa |
| \( 1/(s+a) \) | \( e^{-at} \) |
| \( 1/(s+a)^2 \) | \( t\,e^{-at} \) |
| \( \omega/(s^2+\omega^2) \) | \( \operatorname{sen}\omega t \) |
| \( \dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} \) | \( e^{-at}\operatorname{sen}\omega t \) |
| \( e^{-sT}X(s) \) | \( x(t-T) \), la señal retrasada |
La cuarta fila explica de dónde sale el \( t\,e^{-at} \) de un polo doble, y la última es la que permite manejar retardos: un \( e^{-sT} \) en la transferencia es un tiempo muerto, y es lo que vuelve no racional a un sistema con retardo de transporte.
05En el laboratorio
Plantear un RLC serie con el capacitor cargado a 5 V, escribir el circuito transformado con las fuentes de condiciones iniciales, despejar \( V_C(s) \) y antitransformar. Comparar con la medición en el osciloscopio.
Para \( V(s) = \dfrac{10(s+2)}{s(s^2+3s+2)} \), aplicar los dos teoremas y después antitransformar para verificar. Repetir con un denominador que tenga un polo en el semiplano derecho y explicar por qué el teorema del valor final falla.
Para \( X(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s-2)} \), escribir las tres señales posibles según la región de convergencia y decidir cuál de las tres tiene transformada de Fourier.
06Errores frecuentes
- Dar \( X(s) \) sin la región de convergencia. La expresión sola no determina la señal.
- Olvidar la condición inicial al transformar una derivada en la versión unilateral.
- Aplicar el teorema del valor final a un sistema inestable. Devuelve un número sin sentido.
- Confundir un polo con un cero del denominador transformado. Conviene factorear siempre.
- Creer que Fourier y Laplace son cosas distintas. Fourier es Laplace sobre el eje imaginario, cuando ese eje está dentro de la región.
07Autoevaluación
¿Qué agrega Laplace respecto de Fourier?
El factor \( e^{-\sigma t} \), que permite transformar señales que crecen y manejar condiciones iniciales.
¿Por qué hace falta la región de convergencia?
Porque la misma \( X(s) \) con distintas regiones corresponde a señales distintas.
¿Cuándo existe la transformada de Fourier?
Cuando la región de convergencia contiene el eje imaginario. Eso equivale, para un sistema causal, a que sea estable.
¿Cómo entra un capacitor cargado en la cuenta?
Como una impedancia \( 1/(sC) \) en serie con una fuente \( v_C(0)/s \).
¿Qué da \( \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)^2\} \)?
\( t\,e^{-at} \). Ése es el término que aporta un polo doble.
¿Qué representa un \( e^{-sT} \) en una transferencia?
Un retardo puro de \( T \) segundos. No es racional, y por eso se lo aproxima con Padé.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 9, con el tratamiento cuidadoso de la región de convergencia que la mayoría omite.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2022. Laplace aplicado a circuitos, con las fuentes de condiciones iniciales y muchos ejemplos.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. La tabla de transformadas y los teoremas de valor inicial y final, con sus condiciones de validez.