Teorema de los residuos
Una integral sobre una curva entera queda reducida a sumar unos pocos números, uno por singularidad. Y esos números ya los conocían: son los coeficientes de la descomposición en fracciones simples.
01Todo se reduce a un coeficiente
Al integrar la serie de Laurent término a término sobre un contorno cerrado, todos los términos dan cero salvo uno: el de \( 1/(z - z_0) \), que da \( 2\pi j \). Ese coeficiente, el \( b_1 \) del desarrollo, es el residuo, y es lo único de la función que sobrevive a la integral.
Es un resultado de una economía notable: una integral sobre una curva entera queda reducida a sumar unos pocos números, uno por cada singularidad de adentro. Lo demás —la forma del contorno, el comportamiento de la función lejos de los polos— no interviene.
Al descomponer una función racional en fracciones simples, los coeficientes que se obtienen son los residuos. La expansión \( \frac{1}{(s+1)(s+2)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2} \) dice que el residuo en \( -1 \) vale 1 y el de \( -2 \) vale \( -1 \). El método de residuos es la versión general de una cuenta que ya hacían en Análisis.
02Las tres maneras de calcularlo
No hace falta desarrollar la serie completa. Según el caso:
| Caso | Fórmula |
|---|---|
| Polo simple | \( \operatorname{Res} = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)\,f(z) \) |
| Polo simple con \( f = g/h \) | \( \operatorname{Res} = \dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)} \) |
| Polo de orden \( m \) | \( \operatorname{Res} = \dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to z_0} \dfrac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z - z_0)^{m} f(z)\Big] \) |
| Singularidad esencial | No hay atajo: hay que desarrollar Laurent y leer \( b_1 \) |
La segunda fila es la que más se usa en la práctica y conviene tenerla a mano: con \( f(z) = 1/(z^3 - 1) \), el denominador tiene derivada \( 3z^2 \), así que el residuo en cada raíz cúbica de la unidad vale \( 1/(3z_k^2) \). Y como \( z_k^3 = 1 \), eso se simplifica a \( z_k/3 \). Los tres residuos suman cero, y por eso un contorno que los encierre a los tres da cero.
\( 1/z^2 \) tiene un polo doble en el origen y residuo cero, porque en su desarrollo no hay término en \( 1/z \). El polo está, pero no aporta nada a la integral. Confundir las dos cosas lleva a conclusiones equivocadas sobre qué singularidades importan.
03Cada polo aporta lo suyo
A la izquierda el contorno y los polos; a la derecha, los aportes \( 2\pi j \operatorname{Res} \) encadenados uno tras otro. El extremo de la cadena es el valor de la integral, y el punto amarillo es lo que da el cálculo numérico sobre el contorno. Tocá el lienzo para mover el centro.
04Para qué sirve de verdad: antitransformar
La antitransformada de Laplace se define como una integral de línea sobre una recta vertical a la derecha de todos los polos —la recta de Bromwich—:
Nadie la calcula así. Lo que se hace es cerrar el contorno con un semicírculo por la izquierda, que por la cota ML aporta cero cuando el radio crece, y aplicar el teorema de los residuos al contorno cerrado que quedó. El resultado es la fórmula que se usa siempre:
Con \( F(s) = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)} \), el residuo en \( s = -1 \) vale \( e^{-t} \) y el de \( s = -2 \) vale \( -e^{-2t} \), de modo que \( f(t) = e^{-t} - e^{-2t} \). Es la misma respuesta que da la tabla, obtenida sin tabla.
Y acá se cierra el círculo que empezó con los polos y ceros: cada polo de la función de transferencia aporta un término exponencial a la respuesta, y el residuo es precisamente con cuánta amplitud lo hace. Un polo con residuo chico está ahí pero casi no se nota.
05En el laboratorio
Calcular \( \operatorname{Res}\big(1/(z^2+1),\, j\big) \) de las tres maneras: por el límite, por \( g/h' \) y desarrollando en fracciones simples. Verificar que las tres dan \( -j/2 \).
Para \( F(s) = \dfrac{s+3}{s(s+1)(s+2)} \), calcular los tres residuos de \( F(s)e^{st} \) y armar \( f(t) \). Comprobar el valor inicial y el final con los teoremas correspondientes.
Antitransformar \( F(s) = \dfrac{1}{(s+1)^2(s+2)} \) usando la fórmula del polo de orden 2. Verificar que aparece un término \( t\,e^{-t} \) y contrastarlo con la respuesta medida de un RLC críticamente amortiguado.
06Errores frecuentes
- Sumar residuos de polos que quedaron afuera. Sólo cuentan los encerrados por el contorno.
- Usar la fórmula del polo simple en uno múltiple. El límite da infinito; hay que derivar \( m-1 \) veces.
- Olvidar el \( (m-1)! \) en la fórmula del polo de orden \( m \).
- Confundir residuo nulo con ausencia de polo. \( 1/z^2 \) tiene polo y residuo cero.
- Antitransformar sin verificar que el semicírculo aporte cero. Si el grado del numerador no es menor que el del denominador, hay que separar primero la parte polinómica.
07Autoevaluación
¿Qué es el residuo, en una línea?
El coeficiente de \( 1/(z-z_0) \) en la serie de Laurent: el único término que sobrevive al integrar sobre un contorno cerrado.
¿Cuánto vale \( \operatorname{Res}(1/(z^2+1),\, j) \)?
\( 1/(2j) = -j/2 \), usando \( g/h' \) con \( h' = 2z \).
¿Cuánto da \( \oint dz/(z^3-1) \) sobre \( |z| = 2 \)?
Cero: encierra los tres polos, y sus residuos \( z_k/3 \) suman cero porque las tres raíces cúbicas de la unidad suman cero.
¿Cómo se calcula el residuo en un polo de orden 2?
Multiplicando por \( (z-z_0)^2 \), derivando una vez y tomando el límite. El \( (m-1)! \) vale 1 en este caso.
¿Qué relación hay entre residuos y fracciones simples?
Son lo mismo: los coeficientes de la descomposición en fracciones simples son los residuos en cada polo.
¿Cómo se antitransforma con residuos?
\( f(t) = \sum \operatorname{Res}[F(s)e^{st}] \) en los polos de \( F \). Cada polo aporta su exponencial, con la amplitud que le da su residuo.
08Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. El teorema de los residuos con sus fórmulas de cálculo y el capítulo de transformadas integrales.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Residuos aplicados a decenas de integrales, ordenados por tipo de problema.
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. La antitransformada de Laplace, con la relación entre residuos y fracciones simples.