Residuos aplicados a integrales reales
Hay integrales reales sin primitiva elemental que salen en dos renglones si se las saca del eje real y se las cierra en el plano complejo. De ahí sale el ancho de banda de ruido de un filtro, entre otras cosas.
01Una integral real, resuelta por afuera
Hay integrales reales que no tienen primitiva elemental y que, sin embargo, salen en dos renglones si se las saca del eje real y se las cierra en el plano complejo. La maniobra es siempre la misma:
- Se reemplaza la variable real por una compleja y se agrega un arco que cierre el camino.
- Se aplica el teorema de los residuos al contorno cerrado.
- Se demuestra —con la cota ML— que el arco aporta cero cuando su radio crece.
- Lo que queda es la integral buscada.
El tercer paso es el que hay que cuidar, y es el que el laboratorio deja ver: si el integrando no decae lo suficiente, el arco no se anula y todo el método se cae.
02Primer tipo: integrales de funciones racionales
Para \( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx \) con \( Q \) sin raíces reales, la condición es que el denominador gane por al menos dos grados:
El ejemplo de cabecera es el más simple posible. Con \( f(z) = 1/(1+z^2) \), el único polo del semiplano superior está en \( z = j \), con residuo \( 1/(2j) \):
La gracia aparece cuando la primitiva no existe. Con \( 1/(1+x^4) \) no hay arcotangente que valga, pero los polos del semiplano superior son \( e^{j\pi/4} \) y \( e^{j3\pi/4} \), y la cuenta sale igual de corta: el resultado es \( \pi/\sqrt{2} \).
03El arco que se tiene que apagar
A la izquierda el contorno: el segmento del eje real más el semicírculo de radio \( R \). A la derecha, cómo evoluciona cada aporte al agrandar \( R \). Si el arco se apaga, el segmento converge al valor de la integral.
04Segundo tipo: las integrales de Fourier
Las que aparecen al transformar. Tienen la forma \( \int R(x)\,e^{j a x}\,dx \) y el factor exponencial cambia el análisis del arco, porque \( |e^{jaz}| = e^{-a y} \) decae para \( y \gt 0 \) cuando \( a \gt 0 \). El resultado que lo formaliza es el lema de Jordan:
Con eso, la transformada de un pulso de Lorentz sale de una línea:
Y tomando parte real, \( \int \cos(ax)/(1+x^2)\,dx = \pi e^{-a} \), que es el que está en el laboratorio. Esta familia es la que justifica el título del contenido en el plan: son las integrales de Fourier, y el método de residuos es la manera estándar de resolverlas.
05Tercer tipo: integrales de senos y cosenos
Para \( \int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)\,d\theta \) el truco es distinto y más elegante: no hay que inventar ningún arco, porque el camino ya es cerrado. Poniendo \( z = e^{j\theta} \), el intervalo \( [0, 2\pi] \) recorre exactamente la circunferencia unitaria:
Aplicado a un caso concreto, \( \int_0^{2\pi} \dfrac{d\theta}{2 + \cos\theta} \), queda una integral de contorno con dos polos en \( z = -2 \pm \sqrt{3} \), de los cuales sólo uno cae adentro del círculo, y el resultado es \( 2\pi/\sqrt{3} \). Sin sustituciones trigonométricas ni tablas.
\( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx \) tiene un problema en \( x = 0 \). La salida es esquivarlo con un semicírculo chiquito y tomar el valor principal. Un polo simple rodeado por medio arco aporta \( j\pi \) por su residuo —la mitad de \( 2\pi j \)—, y de ahí sale el valor \( \pi \). Ese es el resultado que hace que la respuesta al escalón de un filtro ideal tenga sobrepico: el fenómeno de Gibbs.
06Dónde se usa en electrónica
| Problema | Integral | Qué da |
|---|---|---|
| Antitransformar | \( \frac{1}{2\pi j}\int F(s)e^{st}ds \) | La respuesta temporal, polo por polo |
| Ancho de banda de ruido | \( \int_0^{\infty} |H(j\omega)|^2 d\omega \) | El ruido total a la salida de un filtro |
| Energía de una señal | \( \int |X(j\omega)|^2 d\omega \) | Parseval, por el lado de la frecuencia |
| Kramers-Kronig | Valor principal sobre el eje | La parte real de una respuesta a partir de la imaginaria |
La segunda fila es la más cotidiana. El ancho de banda equivalente de ruido de un pasabajos de primer orden sale de integrar \( 1/(1 + (\omega/\omega_c)^2) \) entre cero e infinito, que es media integral del primer ejemplo de esta página. El resultado, \( B_n = \frac{\pi}{2}f_c \), dice que un filtro real deja pasar un 57 % más de ruido que uno ideal del mismo ancho, y es el número que se usa para calcular el ruido de un amplificador.
07En el laboratorio
Resolver \( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{dx}{1+x^4} \) localizando los cuatro polos, quedándose con los dos de arriba y sumando sus residuos. Verificar que da \( \pi/\sqrt{2} \approx 2{,}221 \) y contrastarlo con una integración numérica.
Armar un pasabajos RC con \( f_c = 1 \) kHz, inyectar ruido blanco y medir la tensión eficaz a la salida. Calcular el ancho de banda equivalente a partir de la medición y comparar con \( \frac{\pi}{2}f_c = 1571 \) Hz.
Resolver \( \int_0^{2\pi} \dfrac{d\theta}{a + \cos\theta} \) para \( a \gt 1 \) con la sustitución \( z = e^{j\theta} \). Verificar que el resultado, \( 2\pi/\sqrt{a^2-1} \), tiende a infinito cuando \( a \to 1 \), y explicar qué le pasa al polo.
08Errores frecuentes
- Cerrar el contorno sin verificar el arco. Es el paso que hace válido todo lo demás; el laboratorio muestra un caso donde falla.
- Sumar los residuos de los cuatro polos. Cerrando por arriba sólo entran los del semiplano superior.
- Cerrar por arriba con \( a \lt 0 \). En las integrales de Fourier el signo del exponente decide el semiplano.
- Ignorar los polos sobre el eje real. Hay que indentar el contorno y quedarse con el valor principal.
- Olvidar el \( 1/(jz) \) al sustituir \( d\theta \) en las integrales trigonométricas.
09Autoevaluación
¿Qué condición de grados pide el primer tipo?
Que el denominador supere al numerador en al menos dos grados, para que el arco aporte cero.
¿Cuánto vale \( \int_{-\infty}^{\infty} dx/(1+x^2) \) y por qué?
\( \pi \). El único polo de arriba es \( j \), con residuo \( 1/(2j) \), y \( 2\pi j \cdot 1/(2j) = \pi \).
¿Qué agrega el lema de Jordan?
Permite cerrar el contorno con integrandos que decaen menos, siempre que haya un factor \( e^{jaz} \) con el signo correcto.
¿Cómo se convierte \( \int_0^{2\pi} \) en una integral de contorno?
Con \( z = e^{j\theta} \): el intervalo recorre la circunferencia unitaria, los senos y cosenos se escriben con \( z \) y \( d\theta = dz/(jz) \).
¿Cuánto aporta un polo simple rodeado por medio arco?
\( j\pi \) por su residuo: la mitad de lo que aportaría un contorno completo.
¿Cuánto vale el ancho de banda de ruido de un RC de primer orden?
\( B_n = \frac{\pi}{2}f_c \approx 1{,}57\,f_c \). Es la integral de \( |H|^2 \), que sale por residuos.
10Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. El capítulo de integrales impropias, con el lema de Jordan y el valor principal.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Los tres tipos con decenas de ejemplos resueltos, clasificados por forma del integrando.
- C. D. Motchenbacher y J. A. Connelly. Low-Noise Electronic System Design. Wiley, 1993. El ancho de banda equivalente de ruido calculado para cada tipo de filtro, con las integrales hechas.