Señales de tiempo continuo y discreto
Lo único que cambia entre los dos mundos de la materia es dónde vive la variable independiente. Pero esa diferencia trae consecuencias: en tiempo discreto no toda senoidal es periódica, y la frecuencia queda encerrada en un intervalo.
01Dos variables independientes, dos mundos
Una señal es una función que lleva información. Lo único que cambia entre los dos mundos de esta materia es el conjunto donde vive la variable independiente:
En tiempo continuo la señal tiene un valor para cada instante, y entre dos instantes siempre hay otro. En tiempo discreto la señal no está definida entre muestras: \( x[2{,}5] \) no existe, no es que valga cero. Es el error conceptual más común al empezar.
02Continuo, discreto, analógico, digital
Cuatro palabras que se usan como sinónimos y no lo son. Hay dos ejes independientes: el tiempo y la amplitud, y cada uno puede ser continuo o discreto.
| Amplitud continua | Amplitud cuantizada | |
|---|---|---|
| Tiempo continuo | Analógica: la tensión de un micrófono | La salida de un comparador |
| Tiempo discreto | La salida de un sample-and-hold ideal | Digital: lo que entrega un conversor A/D |
Muestrear discretiza el tiempo; cuantizar discretiza la amplitud. Un conversor A/D hace las dos cosas, y por eso se las confunde. Esta materia se ocupa casi siempre del renglón de abajo a la izquierda: tiempo discreto y amplitud exacta. La cuantización, con su ruido y sus bits, es asunto de Técnicas Digitales.
03Las señales que hay que tener en la cabeza
| Señal | Tiempo continuo | Tiempo discreto |
|---|---|---|
| Escalón | \( u(t) \): vale 1 para \( t \ge 0 \) | \( u[n] \): vale 1 para \( n \ge 0 \) |
| Impulso | \( \delta(t) \): no es una función, es una distribución | \( \delta[n] \): vale 1 en \( n = 0 \). Sin misterio |
| Exponencial real | \( e^{\sigma t} \) | \( a^{n} \) |
| Exponencial compleja | \( e^{j\omega_0 t} \) | \( e^{j\Omega_0 n} \) |
| Rampa | \( t\,u(t) \) | \( n\,u[n] \) |
La fila del impulso merece una aclaración. En tiempo continuo, \( \delta(t) \) es un objeto matemático incómodo: vale cero en todos lados, infinito en cero, y su integral vale uno. En tiempo discreto no hay ningún problema: \( \delta[n] \) es sencillamente la señal que vale 1 en \( n = 0 \) y 0 en el resto. Es una de las pocas cosas que se simplifican al discretizar.
En tiempo continuo, \( \omega \) puede valer cualquier cosa y frecuencias distintas dan señales distintas. En tiempo discreto no: como \( e^{j2\pi n} = 1 \) para todo \( n \) entero, \( \Omega_0 \) y \( \Omega_0 + 2\pi \) producen exactamente las mismas muestras. Toda la información cabe en un intervalo de ancho \( 2\pi \), y la frecuencia más alta que existe en discreto es \( \Omega = \pi \), una muestra positiva y una negativa. Eso es el aliasing, visto desde el lado de las señales.
La señal \( \cos(\Omega_0 n) \) con \( \Omega_0 = 2\pi m/N \). Cambiá \( m \) y \( N \) y mirá cuándo el patrón se repite, y qué pasa si se le suma un poquito a la frecuencia.
04La periodicidad, que en discreto es más exigente
En tiempo continuo, \( \cos(\omega_0 t) \) es periódica para cualquier \( \omega_0 \): el período es \( 2\pi/\omega_0 \), y no hay nada que verificar. En tiempo discreto el período tiene que ser un número entero de muestras, y eso impone una condición:
Con \( \Omega_0 = 1 \) rad por muestra, por ejemplo, \( 1/(2\pi) \) es irracional y la señal nunca se repite, por más que a simple vista parezca una senoidal común. El laboratorio lo muestra activando el corrimiento: las muestras dejan de encajar con las de la vuelta anterior.
Esto no es una curiosidad matemática. Es la razón por la que en un sistema de muestreo conviene que la frecuencia de la señal y la de muestreo guarden una relación racional cuando se quiere promediar ciclos, y es lo que se aprovecha al elegir un número entero de períodos en una ventana de FFT para no tener que aplicar ventaneo.
05Energía y potencia
Dos maneras de medir «cuánto hay» de una señal, y cada una sirve para una familia distinta:
Una señal que se apaga —un pulso, una exponencial decreciente— tiene energía finita y potencia cero: se la llama señal de energía. Una que sigue para siempre —una senoidal, el escalón— tiene energía infinita y potencia finita: señal de potencia. Y hay señales que no son ni una cosa ni la otra, como \( t\,u(t) \).
La definición viene de la disipación en un resistor de 1 Ω: \( p(t) = v^2/R = v^2 \). Por eso el valor eficaz es \( \sqrt{P} \), y por eso en una senoidal de amplitud \( A \) la potencia vale \( A^2/2 \) y el eficaz \( A/\sqrt{2} \). La «potencia» de una señal es una convención cómoda, no necesariamente watts.
06En el laboratorio
Generar con un microcontrolador la señal \( \cos(\Omega_0 n) \) para \( \Omega_0 = \pi/4 \), \( \Omega_0 = 3\pi/8 \) y \( \Omega_0 = 1 \), volcarla por un conversor D/A y observar cuáles se repiten en el osciloscopio y cuál no.
Muestrear a 1 kHz una senoidal de 200 Hz y otra de 1200 Hz, y comparar las secuencias obtenidas. Comprobar que son idénticas y explicarlo con \( \Omega_0 \) y \( \Omega_0 + 2\pi \).
Capturar con el osciloscopio el pulso de descarga de un capacitor sobre un resistor, exportar las muestras y calcular \( \sum |x[n]|^2 \Delta t \). Comparar con la energía almacenada \( \frac{1}{2}CV^2 \).
07Errores frecuentes
- Creer que \( x[n] \) vale cero entre muestras. No vale nada: no está definida ahí.
- Confundir discreto con digital. Discreto es el tiempo; digital agrega la cuantización de la amplitud.
- Dar por periódica cualquier senoidal discreta. Hace falta que \( \Omega_0/2\pi \) sea racional.
- Tratar a \( \delta(t) \) como una función común. Sólo tiene sentido dentro de una integral; \( \delta[n] \), en cambio, es una señal normal.
- Buscar energía en una senoidal. Tiene energía infinita: hay que hablar de potencia.
08Autoevaluación
¿Qué diferencia hay entre \( x(t) \) y \( x[n] \)?
La variable independiente: real en el primer caso, entera en el segundo. Entre dos muestras la señal discreta no está definida.
¿Es lo mismo discreto que digital?
No. Discreto se refiere al tiempo; digital exige además que la amplitud esté cuantizada.
¿Es periódica \( \cos(n) \)?
No: \( 1/(2\pi) \) es irracional, así que no hay ningún \( N \) entero que devuelva la señal a su valor.
¿Cuál es la frecuencia más alta en tiempo discreto?
\( \Omega = \pi \), que alterna +1 y −1. Por encima de eso las señales se repiten: \( \Omega \) y \( \Omega + 2\pi \) son la misma.
¿Una senoidal es señal de energía o de potencia?
De potencia: su energía es infinita y su potencia vale \( A^2/2 \).
¿Qué período tiene \( \cos(2\pi \cdot 3 n/12) \)?
Simplificando \( 3/12 = 1/4 \), el período es \( N = 4 \) muestras.
09Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 1 completo: es la referencia de este contenido y de los cinco que siguen.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. El tratamiento del caso discreto, con la periodicidad y el confinamiento de la frecuencia.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. Buenos ejemplos de señales reales de instrumentación, con energía y potencia calculadas.