Transformaciones de la variable independiente
Tres operaciones y nada más: correr, espejar y estirar. El problema aparece cuando se combinan, porque el desplazamiento de x(at+b) no es b sino b/a, y ahí se equivoca todo el mundo alguna vez.
01Tres operaciones y nada más
Todo lo que se le puede hacer al eje del tiempo de una señal se arma con tres movimientos:
| Operación | Expresión | Qué hace |
|---|---|---|
| Desplazamiento | \( x(t - t_0) \) | Con \( t_0 \gt 0 \) corre hacia la derecha: es un retardo |
| Reflexión | \( x(-t) \) | Espeja respecto del eje vertical: el futuro pasa a ser pasado |
| Escalamiento | \( x(at) \) | Con \( |a| \gt 1 \) comprime; con \( |a| \lt 1 \), expande |
Las dos primeras filas traen su propia trampa de signos. Que \( x(t - t_0) \) corra hacia la derecha parece al revés, pero se entiende pensando en dónde ocurre ahora lo que antes ocurría en cero: hace falta \( t = t_0 \) para que el argumento valga cero. Y en el escalamiento pasa lo mismo: multiplicar el argumento por 2 acorta la señal a la mitad, porque el argumento llega antes a cada valor.
02La combinada, que es donde todos se equivocan
Cuando aparecen juntas, \( y(t) = x(at + b) \), el orden importa y el desplazamiento no es \( b \). Sacando \( a \) de factor común queda a la vista:
Hay un método que no falla nunca y que evita tener que recordar el orden: seguir los puntos notables. Si la señal original tiene un quiebre, un salto o un pico en \( t = t_1 \), ese mismo rasgo aparece en la transformada donde el argumento valga \( t_1 \):
Con dos o tres puntos notables mapeados ya queda determinada toda la señal, sin discusiones de orden ni de signos. Es lo que hace el laboratorio: muestra a dónde va a parar cada quiebre.
Arriba la señal original con sus tres puntos notables; abajo, \( x(at+b) \) con los mismos puntos mapeados. Movés \( a \) y \( b \) y mirás qué le pasa a cada uno.
03En tiempo discreto, el escalamiento es otra cosa
El desplazamiento y la reflexión funcionan igual: \( x[n - n_0] \) y \( x[-n] \) no tienen sorpresas, salvo que \( n_0 \) debe ser entero. El escalamiento, en cambio, cambia de naturaleza.
| Operación | Nombre | Qué pasa |
|---|---|---|
| \( x[Mn] \), \( M \) entero | Diezmado | Se descartan muestras. Se pierde información: no se puede deshacer |
| \( x[n/L] \), \( L \) entero | Interpolación | Aparecen huecos que hay que rellenar: no está definida si \( n/L \) no es entero |
La diferencia con el caso continuo es de fondo. Comprimir una señal continua es reversible: se la expande de vuelta y queda igual. Diezmar una secuencia tira muestras al tacho, y salvo que la señal estuviera sobremuestreada, lo que se perdió no vuelve. Por eso en procesamiento digital el diezmado siempre va precedido de un filtro antialias, y la interpolación seguida de uno de reconstrucción.
Pasar de 48 kHz a 44,1 kHz —de audio profesional a disco compacto— es multiplicar por 147/160. Se hace interpolando por 147 y diezmando por 160, con un filtro en el medio. Toda la maquinaria de conversión de frecuencia de muestreo es esta transformación, aplicada con cuidado.
04Dónde aparece cada una
| Transformación | En un circuito o sistema |
|---|---|
| \( x(t - t_0) \) | Una línea de retardo, un eco, la propagación por un cable |
| \( x(t) + \alpha\,x(t - t_0) \) | Un eco simple, y también la interferencia por multitrayecto |
| \( x(-t) \) | La convolución y la correlación, donde una señal se refleja antes de deslizarse |
| \( x(at) \) | Cambiar la velocidad de reproducción, o el corrimiento Doppler |
| \( x[Mn] \) | Bajar la frecuencia de muestreo de un flujo digital |
La tercera fila es la que más se va a usar de acá en adelante. La convolución se define con \( h(t - \tau) \), que es una reflexión seguida de un desplazamiento, y entender bien esas dos operaciones es lo que hace que la integral de convolución deje de ser una fórmula opaca.
05En el laboratorio
Dada una señal con quiebres en \( t = 0 \), \( 1 \) y \( 1{,}5 \), dibujar \( x(2t + 3) \), \( x(-t + 1) \) y \( x(-2t - 1) \) mapeando cada quiebre con \( t = (t_1 - b)/a \). Verificar los tres con el laboratorio.
Armar con dos amplificadores operacionales y una línea de retardo digital un sistema \( y(t) = x(t) + 0{,}5\,x(t - 20\text{ ms}) \). Observar el efecto sobre un tren de pulsos y sobre una senoidal, y explicar por qué en frecuencia aparecen nulos periódicos.
Muestrear una senoidal de 3 kHz a 40 kHz y después quedarse con una de cada ocho muestras. Comparar con lo que se obtiene filtrando antes a 2,5 kHz. Explicar la diferencia.
06Errores frecuentes
- Desplazar \( b \) en lugar de \( b/a \). El error más frecuente de todos. Los puntos notables lo evitan.
- Invertir el sentido del desplazamiento. \( x(t - t_0) \) con \( t_0 \) positivo va hacia la derecha.
- Creer que \( x(2t) \) estira la señal. La comprime: llega antes a cada valor.
- Hacer las operaciones en cualquier orden. Escalar y después desplazar no da lo mismo que al revés, salvo que se corrija el desplazamiento.
- Diezmar sin filtrar primero. Lo que se pierde no vuelve, y encima aparece aliasing.
07Autoevaluación
¿Para qué lado corre \( x(t - 3) \)?
Hacia la derecha: es un retardo de 3 unidades.
Si \( x(t) \) tiene un quiebre en \( t = 2 \), ¿dónde lo tiene \( x(2t + 1) \)?
Donde \( 2t + 1 = 2 \), es decir en \( t = 0{,}5 \).
¿Cuál es el desplazamiento efectivo en \( x(3t + 6) \)?
\( b/a = 2 \) hacia la izquierda, no 6. Después se comprime por 3.
¿Qué le hace \( x(-2t) \) a la señal?
La refleja y la comprime a la mitad. El signo hace la reflexión; el módulo, el escalamiento.
¿Por qué diezmar no es reversible?
Porque se descartan muestras. Salvo que la señal estuviera sobremuestreada, la información que había entre las que quedan se perdió.
¿Qué transformaciones hay adentro de una convolución?
Una reflexión y un desplazamiento: \( h(t - \tau) \) es \( h \) espejada y corrida hasta \( t \).
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. La sección 1.2, con los ejemplos gráficos que son la referencia de este contenido.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. Diezmado, interpolación y conversión de frecuencia de muestreo, con los filtros que hacen falta.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. Buen tratamiento del orden de las operaciones, con los dos caminos resueltos en paralelo.