Señales pares e impares
Toda señal se parte en una par y una impar, de una sola manera. Esa partición decide qué armónicos puede tener y explica por qué una etapa push-pull cancela los pares.
01Dos simetrías
Una señal es par si espejarla en el tiempo no la cambia, e impar si espejarla equivale a cambiarle el signo:
El coseno es par, el seno es impar, y una señal cualquiera no es ni una cosa ni la otra. De ahí sale una observación menor: toda señal impar vale cero en el origen, porque \( x(0) = -x(0) \) obliga a \( x(0) = 0 \).
Lo interesante no es clasificar señales, sino que estas dos simetrías parten cualquier señal en dos, y que esa partición dice cosas concretas sobre el espectro y sobre la distorsión de un amplificador.
02Toda señal es la suma de una par y una impar
Y de una sola manera. La receta es tan simple que parece un truco, pero se verifica en un renglón:
La primera es par por construcción —cambiar \( t \) por \( -t \) deja los mismos dos términos— y la segunda es impar por la misma razón. Y sumadas dan \( x(t) \), porque los \( x(-t) \) se cancelan.
El ejemplo que hay que tener a mano es el escalón. Su parte par vale \( 1/2 \) en todos lados, y su parte impar es media función signo:
Arriba la señal y su espejada; abajo, la parte par y la impar. Comprobá que sumadas devuelven la original, y mirá cómo se reparte la energía.
03Las reglas del producto y de la integral
| Operación | Resultado | Se parece a |
|---|---|---|
| par × par | par | \( (+)(+) = + \) |
| impar × impar | par | \( (-)(-) = + \) |
| par × impar | impar | \( (+)(-) = - \) |
Y sobre un intervalo simétrico, la integral de una señal impar es cero, mientras que la de una par vale el doble de la mitad:
Esas dos líneas son las que hacen desaparecer la mitad de los coeficientes de una serie de Fourier antes de calcular nada, y las que permiten ahorrarse la mitad de las cuentas cuando hay simetría.
Como el producto de la parte par por la impar es impar, su integral sobre todo el eje se anula. El término cruzado desaparece y queda \( E = E_{\text{par}} + E_{\text{impar}} \): la energía de la señal es la suma de las energías de sus dos partes, sin interferencia entre ellas. El laboratorio lo verifica número a número.
04Qué le hace la simetría al espectro
Acá es donde esto deja de ser una curiosidad. La simetría de una señal periódica determina qué armónicos puede tener:
| Si la señal es… | Su serie de Fourier… | Ejemplo |
|---|---|---|
| Par | Sólo tiene cosenos: \( b_n = 0 \) | Triangular centrada |
| Impar | Sólo tiene senos: \( a_n = 0 \) | Diente de sierra centrado |
| De media onda: \( x(t \pm T/2) = -x(t) \) | Sólo armónicos impares | Cuadrada simétrica |
| Real, en general | \( X(-j\omega) = X^{*}(j\omega) \) | Cualquier señal medible |
La última fila se llama simetría hermítica y es la razón de algo que se ve todos los días: en un analizador de espectro sólo se grafican las frecuencias positivas. La parte negativa no se omite por comodidad, sino porque no agrega información: para una señal real, el módulo del espectro es par y la fase es impar.
La no linealidad de un amplificador se desarrolla como \( y = a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots \). Los términos pares generan armónicos pares —el segundo, sobre todo— y los impares, impares. Una etapa push-pull tiene simetría impar por construcción: las dos mitades procesan semiciclos opuestos, y al restarse cancelan todos los términos pares. Por eso un push-pull casi no tiene segundo armónico y su distorsión residual es de tercer orden. Un amplificador clase A con una sola etapa, en cambio, deja pasar el segundo armónico, que es el que se asocia al sonido «cálido».
05En el laboratorio
Para \( x(t) = e^{-t}u(t) \), obtener \( \mathcal{E}v\{x\} \) y \( \mathcal{O}d\{x\} \) y verificar que valen \( \frac{1}{2}e^{-|t|} \) y \( \frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t)e^{-|t|} \). Comprobar que suman la original.
Medir con un analizador de espectro la distorsión de una etapa en clase A y de una push-pull, con la misma señal de entrada y la misma potencia de salida. Comparar la amplitud del segundo armónico en cada caso y explicar la diferencia por la simetría.
Generar una onda cuadrada simétrica y medir su espectro. Verificar que sólo aparecen los armónicos impares y que caen como \( 1/n \). Después desbalancear el ciclo de trabajo y observar cómo aparecen los pares.
06Errores frecuentes
- Creer que toda señal es par o impar. Casi ninguna lo es: la mayoría tiene las dos partes.
- Olvidar que impar × impar da par. Es la regla de los signos, y se usa todo el tiempo en Fourier.
- Confundir la simetría de media onda con la impar. Son condiciones distintas: la primera elimina armónicos pares, la segunda elimina cosenos.
- Pensar que el espectro negativo es un artificio. Existe; lo que pasa es que para señales reales está determinado por el positivo.
- Suponer que \( x(0) \) puede valer cualquier cosa en una señal impar. Tiene que valer cero.
07Autoevaluación
¿Cómo se obtiene la parte par de una señal?
\( \mathcal{E}v\{x\} = \frac{1}{2}\big(x(t) + x(-t)\big) \). La impar sale con un menos.
¿Cuál es la parte par del escalón?
La constante \( 1/2 \). Y la impar es \( \frac{1}{2}\operatorname{sgn}(t) \).
¿Cuánto vale la integral de una señal impar entre −a y a?
Cero: lo de un lado cancela lo del otro.
¿Qué armónicos tiene una señal con simetría de media onda?
Sólo los impares. Es el caso de la onda cuadrada simétrica.
¿Por qué el analizador de espectro muestra sólo frecuencias positivas?
Por la simetría hermítica: para una señal real, el módulo es par y la fase impar, así que la mitad negativa no agrega nada.
¿Por qué un push-pull cancela los armónicos pares?
Porque su característica de transferencia es impar por construcción, y los términos pares del desarrollo se restan entre las dos mitades.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. La descomposición par-impar y su papel en las propiedades de simetría de Fourier.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Circuitos microelectrónicos. 7.ª ed., Oxford University Press, 2016. La distorsión armónica de las etapas de salida, con la cancelación del push-pull.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. Las simetrías de las series de Fourier, tabuladas con sus consecuencias sobre los coeficientes.