La señal exponencial compleja
Si entra una exponencial compleja a un sistema LTI, sale la misma exponencial multiplicada por un número. Ninguna otra señal hace eso, y de ahí sale todo el análisis en frecuencia.
01La función más importante de la materia
Hay una razón precisa por la que todo el análisis de señales gira alrededor de la exponencial compleja, y no es estética. Es esta:
Ninguna otra familia de señales tiene esa propiedad. Si entra un pulso, sale otra cosa; si entra una triangular, sale deformada. Pero si entra \( e^{st} \), sale \( e^{st} \) escalada y desfasada. A esas señales se las llama autofunciones del sistema, y son la razón de que exista el análisis en frecuencia: si una señal cualquiera se escribe como suma de exponenciales complejas, la salida se arma sumando cada una multiplicada por su \( H(s) \). Eso es Fourier, y eso es Laplace.
Metiendo \( e^{st} \) en la integral de convolución: \( y(t) = \int h(\tau)\,e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\int h(\tau)e^{-s\tau}d\tau \). La exponencial sale afuera porque \( e^{s(t-\tau)} = e^{st}e^{-s\tau} \), y lo que queda adentro ya no depende de \( t \): es \( H(s) \), la transformada de la respuesta al impulso.
02El caso puramente imaginario
Con \( s = j\omega_0 \), la exponencial se queda sobre el círculo unitario y gira para siempre:
Es siempre periódica, de período \( T_0 = 2\pi/|\omega_0| \), y su módulo vale uno en todo instante: es un fasor de amplitud constante. De ahí salen las dos relaciones de Euler que se usan a cada rato para pasar de senoidales a exponenciales y volver:
Las exponenciales armónicamente relacionadas \( \phi_k(t) = e^{jk\omega_0 t} \) comparten el mismo período \( T_0 \) para todo entero \( k \), y forman la base con la que se arma una serie de Fourier. En tiempo continuo hay infinitas distintas; en tiempo discreto, como ya se vio, sólo hay \( N \).
03El caso general: el mapa del plano s
Con \( s = \sigma + j\omega \) completo, la exponencial hace dos cosas a la vez:
La parte real de \( s \) fija la envolvente y la imaginaria, la velocidad de giro. Cada punto del plano \( s \) corresponde a una forma de onda distinta, y esa correspondencia es el mapa que hay que tener en la cabeza para el resto de la carrera.
Tocá el plano \( s \) de la izquierda y mirá qué señal aparece a la derecha. Los puntos marcados son los casos característicos.
04En tiempo discreto
La versión discreta es \( x[n] = z^{n} \), y con \( z = e^{j\Omega_0} \) queda \( e^{j\Omega_0 n} \). Las diferencias con el caso continuo ya se anticiparon y conviene repetirlas porque son la fuente de la mitad de los errores:
| Tiempo continuo | Tiempo discreto | |
|---|---|---|
| Frecuencias distintas | Infinitas: cada \( \omega_0 \) da otra señal | Sólo un intervalo de \( 2\pi \) |
| Periodicidad | Siempre, con \( T_0 = 2\pi/\omega_0 \) | Sólo si \( \Omega_0/2\pi \) es racional |
| Armónicas distintas | Infinitas | Exactamente \( N \) |
| La «más rápida» | No existe | \( \Omega = \pi \): alterna +1 y −1 |
La tercera fila es la que da origen a la DFT: como sólo hay \( N \) exponenciales armónicas distintas, la representación de una secuencia periódica de período \( N \) necesita exactamente \( N \) coeficientes. No una suma infinita: una suma finita, que una computadora puede calcular.
La correspondencia \( z = e^{sT} \) lleva el eje imaginario del plano \( s \) al círculo unitario del plano \( z \), y el semiplano izquierdo al interior del círculo. Por eso el criterio de estabilidad cambia de forma pero no de fondo: donde antes se pedía «polos a la izquierda», ahora se pide «polos adentro del círculo».
05En el laboratorio
Armar un RLC serie y ajustar \( R \) para obtener tres casos: sobreamortiguado, crítico y subamortiguado. Para cada uno, medir la respuesta al escalón, extraer \( \sigma \) y \( \omega \) de la envolvente y del período, y ubicar los polos en el plano.
Con un generador de dos canales en cuadratura, sumar dos señales que giren en sentidos opuestos y verificar que el resultado es un coseno real. Es la relación de Euler, armada con instrumentos.
Inyectar una senoidal en un filtro RC y medir amplitud y fase de la salida. Comprobar que la forma de onda es idéntica y que la relación entrada-salida coincide con \( H(j\omega) = 1/(1 + j\omega RC) \) en módulo y en fase, para cinco frecuencias.
06Errores frecuentes
- Creer que las frecuencias negativas no existen. Son el fasor que gira en el otro sentido, y hacen falta para armar un coseno real.
- Confundir \( |e^{st}| \) con \( e^{|s|t} \). El módulo depende sólo de \( \sigma \): \( |e^{st}| = e^{\sigma t} \).
- Dar por periódica a \( e^{st} \) con \( \sigma \ne 0 \). Si hay envolvente, no se repite.
- Olvidar el \( 2j \) del seno. En la relación de Euler el coseno lleva 2 y el seno \( 2j \).
- Trasladar al caso discreto las propiedades del continuo. La periodicidad y la cantidad de armónicas funcionan distinto.
07Autoevaluación
¿Qué significa que \( e^{st} \) sea autofunción de un sistema LTI?
Que la salida es la misma exponencial multiplicada por un número complejo \( H(s) \). La forma no cambia.
¿Cuánto vale \( |e^{(-2+j5)t}| \) en \( t = 1 \)?
\( e^{-2} \approx 0{,}135 \). La parte imaginaria sólo gira, no afecta el módulo.
¿Por qué un coseno real necesita dos exponenciales?
Porque una sola gira y tiene parte imaginaria. Dos que giran en sentidos opuestos cancelan sus partes imaginarias y dejan un coseno.
¿Qué señal corresponde a un punto sobre el eje imaginario?
Una oscilación de amplitud constante: no crece ni se apaga. Es el caso límite entre estable e inestable.
¿Cuántas exponenciales armónicas distintas hay en tiempo discreto?
Exactamente \( N \). Por eso la DFT tiene \( N \) coeficientes y se puede calcular con una computadora.
¿Adónde va el semiplano izquierdo bajo \( z = e^{sT} \)?
Al interior del círculo unitario. De ahí el criterio de estabilidad de los filtros digitales.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Las secciones 1.3 y 3.2: la exponencial compleja y su papel como autofunción.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. El caso discreto, con las N armónicas y el camino hacia la DFT.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. La lectura del plano s en términos de respuesta temporal, con los mapas de amortiguamiento.