Sistemas lineales e invariantes en el tiempo
Dos propiedades, y con ellas basta una sola medición para conocer el sistema entero. También explican por qué para trasladar una señal en frecuencia hay que romper alguna de las dos.
01Linealidad: superposición
Un sistema es una caja que recibe una señal y devuelve otra. Es lineal si responde a una combinación de entradas con la misma combinación de sus salidas:
De ahí se desprende algo que sorprende siempre: tomando \( a = b = 0 \), un sistema lineal obligatoriamente responde cero a una entrada cero. Un circuito que entrega 1 V con la entrada a masa no es lineal, por más que su gráfica sea una recta perfecta. Esa distinción tiene nombre: a \( y = ax + b \) se lo llama afín, o lineal incremental, y se lo trata separando el punto de reposo de la señal. Es exactamente lo que se hace al analizar un amplificador: se calcula la polarización por un lado y la señal por otro, y el modelo de pequeña señal sí es lineal.
02Invarianza: el sistema no mira el reloj
Un sistema es invariante en el tiempo si retrasar la entrada sólo retrasa la salida, sin cambiarla de ninguna otra manera:
Dicho de otro modo: el sistema hace hoy lo mismo que hará mañana. Un RC con componentes fijos es invariante; un RC cuyo resistor se va calentando, no. Y hay un caso que conviene tener presente porque es lineal pero no invariante: el mezclador, \( y(t) = x(t)\cos(\omega_{LO}t) \). Cumple superposición sin problema —duplicar la entrada duplica la salida— pero no es indiferente al momento en que llega la señal, porque el oscilador local sigue su propio tiempo.
Es la consecuencia más útil de las dos propiedades juntas. Si entra una senoidal de 1 kHz, a la salida de un sistema LTI hay una senoidal de 1 kHz: distinta amplitud y distinta fase, pero la misma frecuencia. Nunca aparece un armónico ni una frecuencia nueva. Por eso, para trasladar una señal en frecuencia hay que romper una de las dos condiciones: la invarianza, con un mezclador, o la linealidad, con una no linealidad que genere armónicos. No hay tercera opción.
03Probar las dos propiedades
Las definiciones se verifican con dos experimentos, y eso es exactamente lo que hace el laboratorio: arma las dos señales que deberían coincidir y las superpone. Donde se separan, la propiedad falla.
A la izquierda el test de linealidad y a la derecha el de invarianza. En cada uno hay dos curvas que tienen que caer una sobre la otra: si se separan, el sistema no cumple.
04Por qué se les dedica media materia
Porque en un sistema LTI, una sola medición lo determina todo. El argumento tiene tres pasos. Primero, cualquier señal se escribe como una suma continua de impulsos desplazados:
Segundo, por invarianza, si el sistema responde \( h(t) \) al impulso \( \delta(t) \), responde \( h(t - \tau) \) al impulso corrido. Y tercero, por linealidad, la respuesta a la suma es la suma de las respuestas:
Eso es lo que hace que valga la pena preguntarse si un sistema es LTI: si lo es, se lo caracteriza golpeándolo una vez y midiendo cómo responde. Toda la materia que sigue —convolución, Fourier, Laplace, transformada Z— es maquinaria para hacer esa cuenta cómoda.
05Qué es y qué no es LTI en un laboratorio real
| Circuito | ¿Lineal? | ¿Invariante? | Observación |
|---|---|---|---|
| RLC con componentes fijos | Sí | Sí | El caso de referencia |
| Amplificador en pequeña señal | Sí | Sí | Después de separar la polarización |
| El mismo, saturado | No | Sí | Recorta: aparecen armónicos |
| Diodo rectificador | No | Sí | Su curva no es una recta |
| Mezclador | Sí | No | Traslada en frecuencia sin distorsionar |
| Capacitor conmutado | Sí | No | Invariante sólo a múltiplos del período de reloj |
| Conversor A/D | No | Sí | La cuantización es una escalera |
La fila del capacitor conmutado es interesante: no es invariante en general, pero sí lo es respecto de desplazamientos iguales a un número entero de períodos de reloj. A eso se lo llama invariante a desplazamientos periódicos, y es la base para analizar filtros de capacitores conmutados con las herramientas del tiempo discreto.
06En el laboratorio
Inyectar en un filtro RC una senoidal de 1 kHz, después una de 3 kHz, y después la suma de las dos. Comprobar que la salida de la suma coincide con la suma de las salidas, muestra a muestra.
Repetir lo anterior subiendo la amplitud hasta que el amplificador recorte. Verificar que ya no se cumple superposición y medir con el analizador de espectro las frecuencias nuevas que aparecieron.
Multiplicar una senoidal de 10 kHz por un oscilador local de 100 kHz y observar las dos bandas laterales. Comprobar que duplicar la entrada duplica la salida —es lineal— y que retrasar la entrada no se traduce en un simple retraso de la salida.
07Errores frecuentes
- Llamar lineal a \( y = ax + b \). Es afín: con entrada cero no da salida cero.
- Confundir linealidad con invarianza. Son independientes: hay sistemas de las cuatro combinaciones posibles.
- Esperar armónicos de un sistema LTI. No puede generarlos; si aparecen, algo se está saturando.
- Probar la linealidad con un solo par de señales. Tiene que valer para cualquier par y cualquier par de coeficientes; un caso que falla alcanza para descartarla.
- Olvidar que \( y(t) = t\,x(t) \) sí es lineal. El coeficiente depende del tiempo, pero la relación con \( x \) sigue siendo proporcional.
08Autoevaluación
Escribí la condición de linealidad.
\( T\{a x_1 + b x_2\} = a\,T\{x_1\} + b\,T\{x_2\} \) para cualesquiera señales y constantes.
¿Es lineal \( y(t) = x(t) + 1 \)?
No. Con entrada cero da salida 1, y eso contradice la homogeneidad.
¿Es lineal \( y(t) = t\,x(t) \)? ¿Es invariante?
Lineal sí; invariante no, porque el factor depende del instante absoluto.
¿Puede un sistema LTI generar un armónico?
No. Sólo puede cambiar amplitud y fase de las frecuencias que ya había.
¿Por qué basta \( h(t) \) para caracterizar un sistema LTI?
Porque cualquier entrada es una suma de impulsos desplazados, y por linealidad e invarianza la salida es la convolución de la entrada con \( h \).
¿Cómo se traslada una señal en frecuencia?
Rompiendo la invarianza, con un mezclador, o la linealidad, con una no linealidad. Un sistema LTI no puede hacerlo.
09Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Las secciones 1.6 y 2.1: las propiedades de los sistemas y el camino a la convolución.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. Muchos ejemplos de verificación de linealidad e invarianza, con los contraejemplos resueltos.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Circuitos microelectrónicos. 7.ª ed., Oxford University Press, 2016. La separación entre polarización y pequeña señal, que es cómo se linealiza un circuito real.