Causalidad
La salida de hoy no puede depender de la entrada de mañana. Esa única exigencia es la que hace que ningún filtro real tenga un corte vertical, y la que explica la latencia de cualquier procesamiento digital de audio.
01No adivinar el futuro
Un sistema es causal si su salida en un instante depende solamente de lo que pasó hasta ese instante, nunca de lo que va a pasar después:
Para un sistema LTI la condición se traduce en una sola frase sobre la respuesta al impulso. Si el impulso llega en \( t = 0 \), la salida no puede haber empezado antes:
Con eso, la integral de convolución deja de recorrer todo el eje y arranca en cero, lo que además explica por qué en Laplace unilateral se integra de \( 0 \) a \( \infty \) sin perder nada.
Un sistema sin memoria responde sólo al valor presente: \( y(t) = 3x(t) \). Uno con memoria usa además valores anteriores —un capacitor, un promediador— o posteriores. Todo sistema sin memoria es causal, pero un sistema con memoria puede ser causal o no. Son dos clasificaciones independientes.
02Qué parte de la entrada interviene
La manera más clara de ver la causalidad es preguntarse, para un instante dado, de qué tramo de la entrada depende esa salida. En un sistema causal ese tramo queda siempre a la izquierda del cursor; en uno no causal, se mete a la derecha.
Arriba la entrada, con la zona sombreada que interviene para calcular la salida en el instante marcado. Abajo, la salida completa. Movés el cursor y mirás de dónde sale cada valor.
03Los no causales existen, y se usan
Que un sistema no sea causal no lo vuelve inútil. Lo vuelve irrealizable en tiempo real, que es otra cosa. Si la señal ya está grabada, el «futuro» está disponible en el archivo:
| Caso | Por qué no es causal | Cómo se usa igual |
|---|---|---|
| Promedio centrado | Usa muestras posteriores | Procesamiento de archivos y de imágenes |
| Filtro FIR de fase lineal | Su \( h[n] \) es simétrico alrededor del centro | Se lo retarda hasta volverlo causal |
| Filtro pasabajos ideal | Su \( h(t) \) es un sinc que se extiende a \( -\infty \) | No se usa: se lo aproxima |
| Suavizado de una serie de datos | Mira hacia adelante y hacia atrás | Análisis posterior, nunca en línea |
La segunda fila es la más interesante en la práctica. Un filtro FIR de fase lineal necesita ser simétrico, y la simetría alrededor del instante cero lo haría no causal. La solución es sencilla: se lo corre. Desplazando \( h[n] \) en \( (N-1)/2 \) muestras queda causal, y el precio es un retardo fijo de esa cantidad de muestras. Ese retardo es el que aparece en la hoja de datos de cualquier filtro digital, y es la razón de que un sistema de audio con procesamiento FIR tenga latencia.
El criterio de Paley-Wiener lo dice con precisión: un sistema causal y estable no puede tener módulo exactamente cero en una banda de frecuencias de ancho no nulo. Un pasabajos ideal, que atenúa infinito más allá del corte, viola esa condición. La consecuencia práctica es que toda transición de un filtro real tiene ancho: no existe el corte vertical, y la pendiente es el precio de la causalidad.
04En tiempo discreto
La condición es la misma con corchetes: \( h[n] = 0 \) para \( n \lt 0 \). Y se lee directamente en la ecuación en diferencias:
Si en la expresión apareciera un \( x[n+1] \), el sistema necesitaría una muestra que todavía no llegó. En un procesador que trabaja sobre un bloque de datos eso se resuelve sin drama; en uno que procesa muestra a muestra, es imposible.
05En el laboratorio
Decidir si son causales: \( y(t) = x(t)\cos(t+1) \), \( y[n] = x[-n] \), \( y(t) = \int_{-\infty}^{t} x(\tau)d\tau \) y \( y[n] = x[n] - x[n+2] \). Justificar cada una.
Programar un filtro FIR de 51 coeficientes simétricos y medir con el osciloscopio el retardo entre entrada y salida. Verificar que coincide con 25 períodos de muestreo, que es \( (N-1)/2 \).
Diseñar tres pasabajos con la misma frecuencia de corte y transiciones cada vez más abruptas. Medir el retardo de grupo de cada uno y observar cómo crece a medida que la transición se afila.
06Errores frecuentes
- Confundir causal con estable. Son propiedades independientes: hay sistemas causales inestables y estables no causales.
- Confundir causal con sin memoria. Un capacitor tiene memoria y es perfectamente causal.
- Creer que un sistema no causal es un error. Es válido, y se usa siempre que la señal esté grabada.
- Olvidar que la causalidad se define sobre \( h \), no sobre \( x \). Es una propiedad del sistema.
- Esperar un corte vertical de un filtro real. Paley-Wiener lo prohíbe para cualquier sistema causal y estable.
07Autoevaluación
¿Qué condición cumple \( h(t) \) en un sistema causal?
\( h(t) = 0 \) para \( t \lt 0 \): no responde antes de que llegue el impulso.
¿Es causal \( y(t) = x(t)\cos(t + 1) \)?
Sí. El coseno depende del tiempo, lo que lo hace variante, pero sólo usa el valor presente de \( x \).
¿Cómo se vuelve causal un FIR de fase lineal?
Desplazándolo \( (N-1)/2 \) muestras. El precio es un retardo fijo de esa cantidad.
¿Por qué un pasabajos ideal no es realizable?
Porque su \( h(t) \) es un sinc que existe para \( t \lt 0 \), y porque su módulo nulo en una banda viola el criterio de Paley-Wiener.
¿Un sistema sin memoria puede ser no causal?
No. Si sólo usa el valor presente, es causal por definición.
¿Qué delata a un sistema no causal en una ecuación en diferencias?
Un término con índice \( n+k \) con \( k \) positivo: necesita una muestra que todavía no llegó.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Las propiedades de los sistemas, con la traducción de cada una a una condición sobre h.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. Los filtros FIR de fase lineal y el retardo que introduce volverlos causales.
- Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer. Tratamiento de señales en tiempo discreto. 3.ª ed., Prentice Hall, 2011. El criterio de Paley-Wiener y las consecuencias de la causalidad sobre la respuesta en frecuencia.