Estabilidad
Toda entrada acotada tiene que dar una salida acotada, y alcanza con una sola excepción para descartar la estabilidad. Un integrador ideal es el ejemplo más cercano: no la cumple.
01Entrada acotada, salida acotada
El criterio de estabilidad que se usa en señales tiene nombre propio: BIBO, por bounded input, bounded output. Un sistema es estable si toda entrada acotada produce una salida acotada:
Eso último es lo que hace que la verificación sea delicada: que un sistema se porte bien con las señales de prueba habituales no prueba nada. La condición tiene que valer para cualquier entrada, y siempre hay una peor que las demás.
02La condición sobre la respuesta al impulso
Para un sistema LTI, todo se reduce a una integral. La salida es \( y(t) = \int h(\tau)x(t-\tau)d\tau \), y acotando en valor absoluto:
De modo que si esa integral es finita, la salida está acotada. Y al revés también vale, porque siempre se puede construir la entrada que fuerza la igualdad. La conclusión es limpia:
¿Cuál es la señal acotada que maximiza la salida en un instante \( T \)? La que en cada momento tiene el mismo signo que el \( h \) que la va a multiplicar: \( x(t) = \operatorname{sgn} \big(h(T-t)\big) \). Con esa entrada, todos los aportes de la integral se suman en vez de cancelarse, y el resultado es exactamente \( y(T) = \int |h| \). Si esa integral diverge, la salida se va a infinito con una entrada que nunca pasó de 1 en valor absoluto. El laboratorio construye esa entrada y la aplica.
03Ver la integral converger, o no
Arriba la respuesta al impulso y la entrada de peor caso que le corresponde. Abajo, la integral acumulada de \( |h| \), que es exactamente la salida que esa entrada produce. Si la curva se aplana, el sistema es estable; si sigue subiendo, no.
04Leído en los polos
Para un sistema racional, la condición de la integral se traduce a la ubicación de los polos, que es como se la usa en la práctica:
| Polos | \( \int |h| \) | Estabilidad | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Todos con \( \operatorname{Re} \lt 0 \) | Converge | Estable | RC, RLC amortiguado |
| Alguno con \( \operatorname{Re} \gt 0 \) | Diverge | Inestable | Realimentación positiva |
| Simples sobre el eje \( j\omega \) | Diverge | No es BIBO estable | Integrador, oscilador ideal |
| Dobles sobre el eje | Diverge | Inestable | Doble integrador |
La tercera fila merece atención porque contradice una costumbre. A un sistema con polos simples sobre el eje imaginario se lo suele llamar marginalmente estable, y no está mal como descripción —su respuesta al impulso no crece— pero no es BIBO estable. Un integrador con entrada constante, que es una señal perfectamente acotada, da una rampa que crece sin límite. Y un oscilador ideal excitado justo en su frecuencia entra en resonancia y también se va.
Porque no es ideal. Un integrador con amplificador operacional tiene un resistor en paralelo con el capacitor —a veces sólo la resistencia de fuga— que corre el polo un poquito a la izquierda del eje. Eso lo vuelve BIBO estable y acota la salida al valor de continua que impone ese resistor. Cuando ese camino no existe, la tensión de offset se integra y la salida termina contra la fuente de alimentación: el clásico integrador que se va a saturación.
05En tiempo discreto
La condición es \( \sum |h[n]| \lt \infty \), y en términos de polos, todos adentro del círculo unitario. Un filtro FIR es siempre estable, sin importar sus coeficientes: como su respuesta al impulso tiene una cantidad finita de términos, la suma no puede divergir. Un IIR, en cambio, puede ser inestable, y por eso hay que verificar la posición de sus polos.
Con \( |a| = 1 \) la suma diverge y con \( |a| \gt 1 \) el sistema crece exponencialmente. En una implementación con aritmética de punto fijo eso se ve enseguida: el acumulador desborda en unas pocas muestras.
06En el laboratorio
Calcular \( \int_0^{\infty} |h| \) para \( h(t) = e^{-2t}u(t) \) y para \( h(t) = e^{-0{,}2t}\cos(10t)u(t) \). Verificar que las dos convergen y comparar los valores con los que da el laboratorio.
Armar un integrador con amplificador operacional sin resistor de realimentación en continua y observar cuánto tarda la salida en llegar a saturación con la entrada a masa. Agregar después un resistor de 1 MΩ en paralelo con el capacitor y medir el nuevo valor de reposo.
Programar \( y[n] = a\,y[n-1] + x[n] \) con \( a = 0{,}9 \), \( 0{,}99 \), \( 1{,}0 \) y \( 1{,}01 \). Medir cuántas muestras tarda cada uno en desbordar un acumulador de 16 bits con una entrada constante de valor 1.
07Errores frecuentes
- Probar con una sola entrada y concluir que es estable. La condición vale para toda entrada acotada.
- Llamar estable a un sistema con polos sobre el eje. Es marginalmente estable, y no es BIBO estable.
- Creer que \( h \) acotada alcanza. El escalón está acotado y su integral diverge.
- Olvidar que un FIR siempre es estable. Su suma es finita por construcción.
- Confundir estabilidad con causalidad. Son independientes.
08Autoevaluación
¿Qué dice el criterio BIBO?
Que toda entrada acotada tiene que producir una salida acotada. Una sola excepción alcanza para descartar la estabilidad.
¿Cuál es la condición sobre \( h \)?
Que sea absolutamente integrable: \( \int|h(t)|dt \lt \infty \). En discreto, absolutamente sumable.
¿Es BIBO estable un integrador?
No. Con entrada constante —acotada— la salida es una rampa que crece sin límite.
¿Cuál es la entrada que peor le hace a un sistema?
\( x(t) = \operatorname{sgn}(h(T-t)) \): hace que todos los aportes se sumen en vez de cancelarse.
¿Para qué valores de \( a \) es estable \( y[n] = a\,y[n-1] + x[n] \)?
Para \( |a| \lt 1 \). Ahí la suma geométrica converge a \( 1/(1-|a|) \).
¿Por qué un FIR es siempre estable?
Porque su respuesta al impulso tiene una cantidad finita de términos, y una suma finita nunca diverge.
09Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. La condición de estabilidad demostrada en las dos direcciones, con la entrada de peor caso.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. Estabilidad en términos de polos, con Routh-Hurwitz y los márgenes de fase y ganancia.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. Estabilidad de los filtros IIR y los efectos de la aritmética finita.