Impulso y escalón unitarios
El impulso no es una función con forma: es el límite de cualquier familia de pulsos que se angoste manteniendo área uno. Lo único que hay que saber de él es cómo se comporta adentro de una integral.
01El escalón, que no tiene misterio
Empecemos por el fácil. El escalón unitario vale cero antes y uno después:
Su utilidad principal es recortar. Multiplicar por \( u(t) \) apaga todo lo anterior a cero, y restando dos escalones corridos se arma un pulso: \( \operatorname{rect} = u(t) - u(t - T) \). Es la manera estándar de escribir señales definidas a trozos en una sola línea.
02El impulso, que sí lo tiene
En tiempo discreto también es simple: \( \delta[n] \) vale 1 en \( n = 0 \) y cero en el resto. Una señal como cualquier otra.
En tiempo continuo, en cambio, \( \delta(t) \) no es una función. No existe ninguna función que valga cero en todos lados salvo en un punto y que tenga integral uno: cambiar el valor en un punto aislado no cambia ninguna integral. Lo que sí existe es un límite, y más precisamente una distribución: un objeto que se define por cómo actúa dentro de una integral.
Cualquier familia de pulsos que se angosten manteniendo área uno sirve para llegar al mismo lugar: un rectángulo, un triángulo, una gaussiana, un sinc. La forma no importa. Lo que importa es que el área se mantenga en uno y el ancho tienda a cero.
Un pulso de área uno que se va angostando. Arriba el pulso junto a una señal suave; abajo, el resultado de \( \int x(t)\,p_\Delta(t - t_0)\,dt \), que tiene que acercarse a \( x(t_0) \) sin importar qué forma tenga el pulso.
03Las propiedades que se usan
| Propiedad | Expresión | Para qué sirve |
|---|---|---|
| Cribado | \( \int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0) \) | Extraer un valor puntual |
| Producto | \( x(t)\,\delta(t-t_0) = x(t_0)\,\delta(t-t_0) \) | Simplificar antes de integrar |
| Área | \( \int \delta(t)\,dt = 1 \) | Es lo que lo define |
| Escalamiento | \( \delta(at) = \dfrac{1}{|a|}\,\delta(t) \) | Cambios de variable |
| Paridad | \( \delta(-t) = \delta(t) \) | Es par |
| Convolución | \( x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0) \) | Convolucionar con un impulso desplaza |
La del escalamiento sorprende: angostar el impulso lo hace más alto, porque el área tiene que seguir valiendo uno. Y la última fila es la que explica por qué \( \delta(t) \) es el elemento neutro de la convolución: convolucionar con él no cambia nada, y con una versión corrida, sólo desplaza.
Como \( \int \delta(t)dt = 1 \) y \( dt \) se mide en segundos, \( \delta(t) \) tiene unidades de 1/segundo. No es adimensional. Por eso la respuesta al impulso de un circuito se mide en «volts por volt-segundo», y por eso en la práctica no se lo excita con un impulso sino con un escalón: un pulso de área uno y 1 μs de ancho tendría un millón de volts de altura.
04Uno es la derivada del otro
La relación entre los dos es la que ordena todo:
La derivada de un escalón es cero en todos lados salvo en el salto, donde es infinita: eso es exactamente un impulso. Y en tiempo discreto la relación es la misma con diferencias y sumas:
De ahí se desprende algo muy práctico. Como un sistema LTI conmuta con la derivada, la respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón. Y eso resuelve un problema de laboratorio real: no se puede generar un impulso, pero un escalón se genera con una llave. Se mide la respuesta al escalón y se la deriva.
Depende del sistema, no del pulso. Lo que se pide es que el pulso sea mucho más angosto que la constante de tiempo más rápida del sistema: como regla, un décimo. Para un circuito con \( \tau = 1 \) ms alcanza con un pulso de 100 μs, y el sistema no distingue esa entrada de un impulso verdadero. Por eso en la práctica el impulso se aproxima sin drama, siempre que se conozca de antemano qué tan rápido es el sistema.
05En el laboratorio
Calcular \( \int_{-\infty}^{\infty} (t^2 + 3)\,\delta(t - 2)\,dt \), \( \int_0^{5} e^{-t}\delta(t-3)dt \) y \( \int_0^{5} e^{-t}\delta(t-7)dt \). Explicar por qué la última da cero.
Medir la respuesta al escalón de un RC con el osciloscopio, exportar los datos y derivarlos numéricamente. Comparar el resultado con la expresión teórica \( h(t) = \frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t) \).
Excitar el mismo RC con pulsos de igual área y anchos de \( \tau \), \( \tau/10 \) y \( \tau/100 \). Verificar que a partir de \( \tau/10 \) la respuesta ya no cambia de forma: el sistema no distingue esos pulsos de un impulso.
06Errores frecuentes
- Tratar a \( \delta(t) \) como una función. Sólo tiene sentido dentro de una integral. Su «valor» en cero no es un número.
- Olvidar el \( 1/|a| \) en \( \delta(at) \). Angostar sube la altura.
- Sacar de la integral un impulso cuyo argumento cae afuera del intervalo. Si \( t_0 \) no está en el rango, el resultado es cero.
- Creer que \( \delta[n] \) también es una distribución. En discreto es una señal común y corriente.
- Pensar que el impulso es adimensional. Tiene unidades de 1/segundo.
07Autoevaluación
¿Cuánto vale \( \int (t^2+3)\,\delta(t-2)\,dt \)?
7: es el valor de \( t^2 + 3 \) evaluado en \( t = 2 \).
¿Por qué \( \delta(t) \) no es una función?
Porque ninguna función que valga cero salvo en un punto puede tener integral uno. Es una distribución, definida por cómo actúa dentro de una integral.
¿Cuánto vale \( \delta(3t) \)?
\( \frac{1}{3}\delta(t) \). El factor \( 1/|a| \) conserva el área.
¿Qué relación hay entre \( h(t) \) y la respuesta al escalón?
\( h(t) \) es su derivada. Por eso en el laboratorio se mide el escalón y se deriva.
¿Cuánto da \( x(t) * \delta(t - 3) \)?
\( x(t - 3) \): convolucionar con un impulso corrido desplaza la señal.
¿Qué ancho tiene que tener un pulso para pasar por impulso?
Mucho menor que la constante de tiempo más rápida del sistema; como regla, un décimo.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El impulso definido como límite de pulsos y sus propiedades, con el cuidado que el tema merece.
- Ronald N. Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications. 3.ª ed., McGraw-Hill, 1999. El mejor tratamiento del impulso y de las distribuciones para ingeniería que hay escrito.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. La relación entre respuesta al impulso y al escalón, con ejemplos de medición.