Singularidades
Hay exactamente tres maneras de que una función no esté definida en un punto aislado, y la serie de Laurent las distingue de un vistazo. La tercera, la esencial, es la que hace que un retardo puro no se deje escribir con polos y ceros.
01Tres maneras de no estar definida
Un punto \( z_0 \) es una singularidad aislada de \( f \) si la función es analítica en un entorno de \( z_0 \) salvo en \( z_0 \) mismo. La clasificación se hace mirando qué pasa al acercarse, y hay exactamente tres casos posibles.
| Tipo | Qué hace \( |f| \) al acercarse | Ejemplo |
|---|---|---|
| Evitable | Tiende a un valor finito | \( \dfrac{\operatorname{sen} z}{z} \) en \( z = 0 \) |
| Polo de orden \( m \) | Tiende a infinito como \( 1/|z-z_0|^m \) | \( \dfrac{1}{z^2} \) en \( z = 0 \) |
| Esencial | No tiende a nada: depende de por dónde se llegue | \( e^{1/z} \) en \( z = 0 \) |
La singularidad evitable se llama así porque se arregla sola: basta con definir \( f(0) = 1 \) para que \( \operatorname{sen}(z)/z \) sea analítica en todo el plano. La de polo es la que aparece en cualquier función de transferencia. La esencial es la rara, y es la que hace que un retardo puro se resista a todo tratamiento racional.
02La serie que lo decide: Laurent
Alrededor de una singularidad aislada, la serie de Taylor no alcanza —no existe— pero sí hay un desarrollo con potencias negativas, válido en una corona \( 0 \lt |z - z_0| \lt \rho \):
Toda la clasificación está en la parte principal, y se lee de un vistazo:
| Parte principal | Tipo de singularidad |
|---|---|
| No tiene términos | Evitable |
| Tiene \( m \) términos, el último \( b_m \ne 0 \) | Polo de orden \( m \) |
| Tiene infinitos términos | Esencial |
El caso de \( e^{1/z} \) se ve solo. Reemplazando en la serie de la exponencial:
Y el coeficiente \( b_1 \) —el que acompaña a \( 1/(z-z_0) \)— tiene nombre propio: es el residuo, el único término que sobrevive al integrar sobre un contorno cerrado. De eso se ocupa el contenido siguiente.
03Reconocer el tipo mirando
Hay una manera experimental de clasificar una singularidad sin desarrollar ninguna serie: rodearla con una circunferencia chica y mirar en qué se convierte. Si la imagen se achica, es evitable. Si crece como una potencia y da \( m \) vueltas alrededor del origen, es un polo de orden \( m \). Si se desparrama por todo el plano sin criterio, es esencial.
A la izquierda, una circunferencia de radio \( r \) alrededor del origen; a la derecha, su imagen, con el módulo comprimido logarítmicamente para que entre todo. El orden se estima comparando el tamaño con dos radios distintos.
04Cómo se determina el orden sin dibujar
Para una función racional alcanza con factorear el denominador y contar multiplicidades. Para el resto hay un criterio directo: \( z_0 \) es un polo de orden \( m \) si el límite
El otro camino es escribir \( f = g/h \) con \( g \) y \( h \) analíticas: si \( h \) tiene un cero de orden \( m \) en \( z_0 \) y \( g(z_0) \ne 0 \), entonces \( f \) tiene un polo de orden \( m \). Y si \( g \) también se anula ahí, se cancelan órdenes: por eso \( \operatorname{sen}(z)/z \) no tiene polo, porque el seno también vale cero en el origen.
\( \sqrt{z} \) y \( \ln z \) no están definidas en el origen, pero su singularidad no es aislada: arrastran un corte. Dando una vuelta completa alrededor del cero, la función no vuelve al mismo valor, así que no hay serie de Laurent que valga en toda una corona. Se los llama puntos de ramificación y se tratan aparte, eligiendo una rama. En el laboratorio se ve claro: la imagen de la circunferencia no se cierra.
05Dónde aparece cada una en electrónica
| Situación | Singularidad | Consecuencia |
|---|---|---|
| Polo de \( H(s) \) | Polo simple | Un término \( e^{p t} \) en la respuesta |
| Polo doble, como un crítico amortiguado | Polo de orden 2 | Aparece \( t\,e^{pt} \): la respuesta se demora |
| Cancelación polo-cero | Evitable | El modo existe pero no se ve desde la salida |
| Retardo puro \( e^{-sT} \) | Esencial en el infinito | No es racional: no se puede escribir con polos y ceros |
| \( \sqrt{s} \) de un efecto pelicular | Ramificación | Modelos con orden fraccionario |
La fila del retardo explica algo que se choca seguido en control: un \( e^{-sT} \) no se puede meter en un diagrama de polos y ceros, y por eso se lo aproxima con una función racional —la aproximación de Padé— para poder diseñar. El precio de esa aproximación es que sólo vale en una banda de frecuencias.
La fila de la cancelación también vale la pena. Si un polo y un cero coinciden exactamente, la singularidad es evitable y desaparece de la función de transferencia. Pero el modo físico sigue en el circuito: simplemente dejó de ser observable desde esa salida. Es la diferencia entre lo que mide el osciloscopio y lo que pasa adentro.
06En el laboratorio
Para \( \dfrac{z}{(z-1)^2(z+3)} \), \( \dfrac{1 - \cos z}{z^2} \) y \( z\,e^{1/z} \), decidir qué tipo de singularidad hay en cada punto y de qué orden. Verificar con el criterio del límite de la sección 04.
Armar un RLC ajustado exactamente al amortiguamiento crítico y comparar la respuesta al escalón con la de un circuito levemente sobreamortiguado. Identificar el término \( t\,e^{pt} \) que aporta el polo doble.
Comparar el diagrama de Bode de \( e^{-sT} \) con el de su aproximación de Padé de primer orden, \( \dfrac{1 - sT/2}{1 + sT/2} \). Determinar hasta qué frecuencia el error de fase se mantiene por debajo de 5°.
07Errores frecuentes
- Llamar polo a cualquier punto donde la fórmula se rompe. Puede ser evitable, y entonces no hay polo.
- Contar el orden mirando sólo el denominador. Si el numerador también se anula ahí, los órdenes se restan.
- Tratar \( \sqrt{z} \) o \( \ln z \) como singularidades aisladas. No lo son: tienen corte.
- Creer que una esencial es «un polo de orden infinito». Son cosas distintas: cerca de una esencial la función no tiende a infinito, toma todos los valores.
- Confiar en una cancelación polo-cero exacta. Los componentes reales tienen tolerancia y la cancelación nunca es perfecta.
08Autoevaluación
¿Qué tipo de singularidad tiene \( \operatorname{sen}(z)/z \) en el origen?
Evitable: el límite vale 1. Definiendo \( f(0) = 1 \) queda analítica en todo el plano.
¿Cómo se lee el tipo en la serie de Laurent?
Por la cantidad de términos de la parte principal: ninguno es evitable, \( m \) es polo de orden \( m \), infinitos es esencial.
¿Por qué \( e^{1/z} \) tiene una singularidad esencial?
Porque su desarrollo tiene infinitas potencias negativas. Acercándose por el eje real positivo tiende a infinito y por el negativo, a cero.
¿Qué orden tiene el polo de \( \dfrac{z+1}{z^3} \)?
Orden 3: el numerador no se anula en el origen, así que no cancela nada.
¿Por qué un retardo puro no se puede dibujar con polos y ceros?
Porque \( e^{-sT} \) no es racional: su singularidad en el infinito es esencial. Por eso se lo aproxima con Padé.
¿Qué es un punto de ramificación?
Un punto donde la función no vuelve al mismo valor después de dar una vuelta alrededor, como el origen para \( \sqrt{z} \). No es una singularidad aislada.
09Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. Series de Laurent y clasificación de singularidades, con el teorema de Casorati-Weierstrass.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Desarrollos de Laurent resueltos, que es donde se aprende a elegir la corona correcta.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El tratamiento del retardo puro y la aproximación de Padé, con sus límites de validez.