Polos y ceros
Una constante y un puñado de puntos del plano contienen todo el circuito: la respuesta en frecuencia, la respuesta al escalón y la estabilidad salen de leer dónde están esos puntos.
01Los dos números que definen un circuito
Una función de transferencia de parámetros concentrados es siempre un cociente de polinomios, y todo polinomio se factorea. Entonces:
Esa factorización dice algo fuerte: una constante y un puñado de puntos del plano contienen toda la información del circuito. La respuesta en frecuencia, la respuesta al escalón, la estabilidad y hasta el tiempo de establecimiento salen de leer dónde están esos puntos.
La parte real de un polo dice cuán rápido se apaga esa componente de la respuesta: un polo en \( \sigma \) contribuye con \( e^{\sigma t} \). La parte imaginaria dice a qué frecuencia oscila. Un polo real da una exponencial; un par conjugado, una senoidal amortiguada.
02La respuesta en frecuencia, leída con una regla
Para obtener la respuesta en frecuencia se evalúa \( H \) sobre el eje imaginario, es decir en \( s = j\omega \). Tomando módulo y fase de la factorización:
Cada factor \( j\omega - p_k \) es el vector que va del polo al punto de trabajo sobre el eje. El módulo de la respuesta es el producto de las distancias a los ceros dividido por el producto de las distancias a los polos. Con una regla y un transportador sobre el diagrama se estima el diagrama de Bode sin calcular nada.
De ahí salen las dos reglas que un electrónico usa todo el tiempo: acercar un polo al eje imaginario levanta un pico en esa frecuencia, porque la distancia del denominador se hace chica; y un cero sobre el eje produce un nulo, porque el numerador se anula.
A la izquierda el plano \( s \) con los polos (×) y los ceros (○), y los vectores que van hasta el punto de trabajo. A la derecha, el módulo en decibeles y la fase. Tocá el plano para mover el par de polos.
03Estabilidad: una sola línea divide el plano
La respuesta natural de un sistema es la suma de los términos \( e^{p_k t} \), uno por polo. Que se apague o no depende sólo del signo de la parte real:
| Dónde está el polo | Qué aporta a la respuesta | Resultado |
|---|---|---|
| \( \operatorname{Re}(p) \lt 0 \) | \( e^{\sigma t} \) con \( \sigma \lt 0 \) | Se apaga · estable |
| \( \operatorname{Re}(p) = 0 \), simple | Oscilación de amplitud constante | Marginalmente estable |
| \( \operatorname{Re}(p) = 0 \), doble | \( t\cos\omega t \), crece | Inestable |
| \( \operatorname{Re}(p) \gt 0 \) | \( e^{\sigma t} \) con \( \sigma \gt 0 \) | Crece sin límite · inestable |
Los ceros no afectan la estabilidad: pueden estar donde sea. Sí afectan la forma de la respuesta, y un cero en el semiplano derecho —lo que se llama fase no mínima— hace que la salida arranque para el lado equivocado antes de corregir. Es lo que pasa en un convertidor elevador y es una de las razones por las que son difíciles de compensar.
Un oscilador senoidal necesita un par de polos exactamente sobre el eje imaginario. Como eso es imposible de sostener con componentes reales, se los diseña apenas a la derecha y se agrega un control de amplitud —una lamparita, un JFET, un limitador— que los empuja hacia el eje cuando la amplitud crece. El circuito se estabiliza solo sobre la línea.
04Los casos que hay que reconocer de memoria
| Función | Polos y ceros | Qué hace |
|---|---|---|
| \( \dfrac{1}{s + \omega_0} \) | Un polo real | Pasabajos, −20 dB/déc, −45° en \( \omega_0 \) |
| \( \dfrac{s}{s + \omega_0} \) | Un cero en el origen | Pasaaltos de primer orden |
| \( \dfrac{\omega_0^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2} \) | Par conjugado | Pasabajos con pico si \( Q \gt 0{,}707 \) |
| \( \dfrac{s^2 + \omega_0^2}{s^2 + \frac{\omega_0}{Q}s + \omega_0^2} \) | Ceros sobre el eje | Notch: nulo exacto en \( \omega_0 \) |
| \( \dfrac{s - a}{s + a} \) | Cero y polo en espejo | Pasatodo: módulo plano, sólo cambia la fase |
El pasatodo merece atención porque es antiintuitivo: tiene un cero en el semiplano derecho y aun así es perfectamente estable, porque el polo está a la izquierda. Su módulo vale 1 a toda frecuencia y lo único que hace es retrasar. Se usa para igualar retardos y para corregir fase sin tocar la amplitud.
05En el laboratorio
Armar un RLC serie con \( R \) variable y medir la respuesta en frecuencia. Localizar el pico, medir su altura respecto de la banda de paso y despejar \( Q \). Contrastar con \( Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C} \) y ubicar los polos en el plano.
Diseñar un notch en 50 Hz con \( Q = 10 \), calcular las posiciones de sus dos ceros y sus dos polos, y verificar en el laboratorio cuántos decibeles de atenuación da en 50 Hz y cuánto afecta a 45 Hz y a 55 Hz.
Armar un pasatodo de primer orden con un amplificador operacional y medir módulo y fase entre \( 0{,}1\,a \) y \( 10\,a \). Comprobar que el módulo se mantiene plano mientras la fase barre 180°.
06Errores frecuentes
- Creer que un cero en el semiplano derecho hace inestable. La estabilidad la deciden los polos, nada más.
- Olvidar los polos en el infinito. Si el denominador tiene más grado que el numerador, hay ceros en el infinito, y eso fija la pendiente final del Bode.
- Confundir \( \omega_0 \) con la frecuencia del pico. El pico está en \( \omega_0\sqrt{1 - 1/(2Q^2)} \), un poco por debajo.
- Dibujar un par conjugado sin su simétrico. Con coeficientes reales, los polos complejos vienen siempre de a pares.
- Cancelar un polo inestable con un cero. Sobre el papel se cancelan; en el circuito real la cancelación nunca es exacta y el modo inestable sigue ahí.
07Autoevaluación
¿Qué es un polo y qué es un cero?
Un cero es un valor de \( s \) donde \( H \) se anula; un polo, donde se hace infinita. Son las raíces del numerador y del denominador.
¿Cómo se estima \( |H(j\omega)| \) mirando el diagrama?
Producto de las distancias a los ceros dividido por el producto de las distancias a los polos, todo por \( |K| \).
Un polo en \( -0{,}1 \pm j10 \): ¿qué respuesta da?
Una oscilación de 10 rad/s que decae con constante de tiempo 10 s. Es un \( Q \) alto, cerca de 50: en frecuencia va a mostrar un pico pronunciado.
¿Por qué el pasatodo tiene módulo constante?
Porque el cero y el polo están en espejo respecto del eje imaginario: para cada \( j\omega \) las dos distancias son iguales y el cociente vale 1.
¿Qué le hace al circuito acercar un polo al eje imaginario?
Levanta un pico en esa frecuencia y hace que la respuesta temporal tarde más en apagarse. Sobre el eje, oscila sin amortiguarse.
¿Qué es un sistema de fase no mínima?
Uno con ceros en el semiplano derecho. Es estable, pero su salida arranca para el lado contrario antes de ir al valor final.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo de Laplace, con la relación entre la ubicación de los polos y la respuesta temporal.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Circuitos microelectrónicos. 7.ª ed., Oxford University Press, 2016. El capítulo de filtros: cada respuesta clásica con su diagrama de polos y ceros al lado.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El lugar de raíces, que es el estudio de cómo se mueven los polos al variar una ganancia.