Fórmula integral de Cauchy
Los valores de una función analítica sobre una curva cerrada determinan por completo lo que vale en todo el interior. No hay nada parecido en el cálculo real, y de esa rigidez salen Liouville y el teorema fundamental del álgebra.
01El valor adentro, leído desde el borde
El teorema anterior dice cuándo una integral vale cero. Éste hace algo mucho más fuerte: dice que los valores de una función analítica sobre una curva cerrada determinan por completo lo que la función vale en todo el interior.
No hay nada equivalente en el cálculo real. Una función real puede valer cualquier cosa en el interior de un intervalo sin que los extremos se enteren. Una analítica, no: está tan amarrada consigo misma que el borde la define.
La parte real de \( f \) es una función armónica, es decir, un potencial. Que el borde determine el interior es exactamente el problema de Dirichlet: fijado el potencial en los electrodos, el potencial queda determinado en toda la región. La fórmula de Cauchy es la versión compleja de ese hecho, y de ella salen las fórmulas de Poisson que se usan para resolverlo.
02De dónde sale
La demostración es un buen ejemplo de cómo se usa el teorema de Cauchy. La función \( f(z)/(z - z_0) \) es analítica en todos lados menos en \( z_0 \), así que el contorno \( C \) se puede deformar hasta una circunferencia chiquita de radio \( \varepsilon \) alrededor de \( z_0 \) sin cambiar el valor. Sobre esa circunferencia, con \( z = z_0 + \varepsilon e^{j\theta} \):
El \( \varepsilon \) se cancela, y como el resultado no depende de \( \varepsilon \), se puede tomar tan chico como se quiera. Ahí la continuidad hace el resto: \( f(z_0 + \varepsilon e^{j\theta}) \) tiende a \( f(z_0) \), que sale de la integral y deja \( 2\pi j\,f(z_0) \).
De paso, esa igualdad intermedia vale para cualquier radio y es un resultado por derecho propio:
Tomando partes reales, eso dice que el potencial en el centro de un círculo es el promedio del potencial sobre el borde. Es la propiedad que usa cualquier método de relajación para resolver Laplace numéricamente: se promedian los vecinos y se itera.
03El promedio que no depende del radio
A la izquierda la circunferencia; a la derecha, la curva que describen los valores de \( f \) sobre ella. El punto amarillo es el promedio de esa curva, y tiene que caer justo sobre \( f(z_0) \). Cambiá el radio: mientras la función sea analítica adentro, el promedio no se mueve.
04Y las derivadas, de yapa
Derivando la fórmula respecto de \( z_0 \) —se puede, y la demostración formal está en cualquier libro— aparece una familia entera de fórmulas:
Leído al derecho, permite calcular la derivada enésima con una integral. Leído al revés, es lo que convierte muchas integrales de contorno en una simple derivada:
Y leído como enunciado, dice algo mucho más profundo: si \( f \) es derivable una vez en un entorno, la fórmula garantiza que existen todas las derivadas, porque el lado derecho está definido para cualquier \( n \). Esa es la demostración de lo que se venía anunciando desde el contenido 3: en el plano complejo, derivable una vez implica derivable infinitas.
05Lo que se desprende
| Resultado | Qué dice | Dónde se usa |
|---|---|---|
| Desigualdad de Cauchy | \( |f^{(n)}(z_0)| \le \dfrac{n!\,M}{r^{n}} \) | Acotar derivadas sin calcularlas |
| Teorema de Liouville | Entera y acotada \( \Rightarrow \) constante | De ahí sale el teorema fundamental del álgebra |
| Módulo máximo | \( |f| \) alcanza su máximo en la frontera, nunca adentro | El pico de \( |H| \) sobre una región está en el borde |
| Valor medio | \( f(z_0) \) es el promedio sobre cualquier circunferencia | Métodos de relajación para resolver Laplace |
El de Liouville merece un renglón aparte por lo inesperado: una función entera que nunca supere un valor fijo tiene que ser constante. Aplicado a \( 1/p(z) \) con \( p \) un polinomio sin raíces, lleva a un absurdo, y de ahí que todo polinomio de grado \( \ge 1 \) tenga al menos una raíz compleja. El teorema fundamental del álgebra sale como corolario de una integral de contorno.
06En el laboratorio
Para \( f(z) = z^2 \) y \( z_0 = 1 \), evaluar la función en ocho puntos igualmente espaciados de la circunferencia de radio 0,5, promediar los ocho valores complejos y comprobar que da \( 1 \), que es \( f(1) \). Repetir con radio 1 y verificar que el promedio no cambió.
Calcular \( \oint \dfrac{e^{z}}{(z-1)^3}\,dz \) sobre \( |z| = 2 \) usando la fórmula de las derivadas con \( n = 2 \). Verificar que da \( \pi j\,e \).
Armar una grilla de 20 × 20 en una planilla, fijar el potencial en los bordes y reemplazar cada celda interior por el promedio de sus cuatro vecinas, iterando hasta que se estabilice. Es la propiedad del valor medio convertida en método de cálculo.
07Errores frecuentes
- Usar la fórmula con singularidades de \( f \) adentro. \( f \) tiene que ser analítica en todo el interior; el único punto especial permitido es \( z_0 \).
- Olvidar el \( n! \) en la fórmula de las derivadas. Es el error que más cuesta caro en un parcial.
- Confundir el exponente. Para la derivada enésima el denominador va elevado a \( n+1 \).
- Creer que el promedio depende del radio. No depende, y ése es justamente el resultado.
- Aplicarla a funciones no analíticas. Con \( |z|^2 \) el promedio sobre la circunferencia vale \( |z_0|^2 + r^2 \): no coincide con el valor en el centro y encima depende del radio.
08Autoevaluación
Escribí la fórmula de Cauchy.
\( f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi j}\displaystyle\oint_C \dfrac{f(z)}{z-z_0}\,dz \), con \( f \) analítica dentro y sobre \( C \).
¿Cuánto vale \( \oint \dfrac{e^z}{z}\,dz \) sobre \( |z| = 1 \)?
\( 2\pi j\,e^{0} = 2\pi j \): es la fórmula con \( f(z) = e^z \) y \( z_0 = 0 \).
¿Y \( \oint \dfrac{\operatorname{sen} z}{(z - \pi/2)^2}\,dz \)?
Con \( n = 1 \): \( 2\pi j \cdot \cos(\pi/2) = 0 \). La derivada del seno en \( \pi/2 \) se anula.
¿Qué dice la propiedad del valor medio?
Que \( f(z_0) \) es el promedio de los valores de \( f \) sobre cualquier circunferencia centrada ahí, sin importar el radio.
¿Por qué una función analítica es infinitamente derivable?
Porque la fórmula de las derivadas da una expresión válida para todo \( n \) a partir de una sola integral. Derivable una vez en un entorno alcanza.
¿Dónde está el máximo de \( |f| \) en una región?
En la frontera, nunca en el interior, salvo que \( f \) sea constante. Es el principio del módulo máximo.
09Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. La fórmula, la de las derivadas, Liouville y el módulo máximo, en ese orden y con las demostraciones.
- A. David Wunsch. Variable compleja con aplicaciones. 2.ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. La fórmula de Poisson y el problema de Dirichlet resueltos con esta herramienta.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Integrales de contorno resueltas con la fórmula de las derivadas, que es la mitad de los ejercicios de parcial.