Teorema integral de Cauchy
Si la función es analítica adentro, la integral sobre cualquier curva cerrada vale cero. De ahí sale lo que más se usa: un contorno se puede deformar a gusto mientras no cruce una singularidad.
01El enunciado
Es el resultado que ordena toda la segunda mitad de la variable compleja, y se dice en un renglón.
Dos palabras del enunciado hacen todo el trabajo. Analítica, que ya se sabe qué significa. Y simplemente conexo: un dominio sin agujeros, donde cualquier curva cerrada se puede contraer hasta un punto sin salirse. Un disco lo es; una corona circular no, porque el agujero del medio impide contraer las curvas que lo rodean.
Es lo que permite mover un contorno de integración sin cambiar el resultado. En el criterio de Nyquist, el contorno se deforma con semicírculos para esquivar los polos sobre el eje imaginario, y el razonamiento vale porque entre el contorno viejo y el nuevo la función es analítica. Lo mismo pasa al antitransformar: la recta de Bromwich se puede correr a gusto mientras no cruce un polo.
02De dónde sale
Separando la integral en parte real e imaginaria, con \( f = u + jv \) y \( dz = dx + j\,dy \):
Cada una de las dos es una integral de línea real, y para ésas existe el teorema de Green, que las convierte en integrales de área:
Aplicándolo a las dos, los integrandos que aparecen son \( -v_x - u_y \) y \( u_x - v_y \). Y ésos son exactamente los dos residuos de Cauchy-Riemann: los dos se anulan si \( f \) es analítica. Las dos integrales de área valen cero, y con ellas la integral de contorno.
La demostración de arriba, que es la de Cauchy, necesita que \( f' \) sea continua para poder usar Green. Édouard Goursat probó después que esa hipótesis sobra: alcanza con que \( f \) sea derivable. Por eso el teorema aparece en los libros con los dos apellidos.
03Deformar el contorno
La consecuencia práctica es más útil que el teorema mismo. Si dos contornos cerrados encierran las mismas singularidades y entre ellos la función es analítica, sus integrales valen lo mismo. El contorno se puede estirar, arrugar o convertir en un cuadrado: mientras no cruce una singularidad, el número no cambia.
Con eso, cualquier contorno que rodee una vez al origen da el mismo valor que la circunferencia unitaria. Y como ya se calculó que \( \oint dz/z = 2\pi j \), ese número vale para todos ellos.
El contorno se recorre en sentido antihorario y la integral se calcula punto por punto. Cambiá la forma, el tamaño y la posición: mientras no cruce una cruz, el resultado se queda quieto. Tocá el lienzo para mover el centro.
04Cuando hay agujeros
Si el dominio tiene singularidades, ya no es simplemente conexo y el teorema no se aplica de manera directa. Lo que sí vale es repartir: un contorno que encierre varias singularidades equivale a la suma de contornos chicos, uno por cada una.
El truco de la demostración es unir el contorno grande con cada uno de los chicos mediante cortes de ida y vuelta. Los cortes se recorren dos veces en sentidos opuestos y se cancelan, y lo que queda es un contorno que no encierra ninguna singularidad: por Cauchy, cero.
De ahí en adelante todo es cuestión de saber cuánto aporta cada singularidad, y eso es el teorema de los residuos. El laboratorio ya lo anticipa con \( 1/(z^2-1) \): encerrando un polo da \( \pi j \), encerrando los dos da cero, porque los aportes se cancelan.
Con \( f(z) = 1/z^2 \) el origen es una singularidad en regla, y sin embargo cualquier contorno que la rodee da cero. La razón es que \( 1/z^2 \) tiene primitiva —\( -1/z \)—, que sí vuelve al mismo valor después de la vuelta. El único exponente que se salva es \( -1 \).
05En el laboratorio
Calcular a mano \( \oint dz/z \) sobre el cuadrado de vértices \( \pm 1 \pm j \), parametrizando los cuatro lados por separado. Verificar que da \( 2\pi j \), igual que la circunferencia, y contrastar con el laboratorio.
Con \( f(z) = 1/(z^2-1) \), hacer la descomposición en fracciones simples y comprobar que los residuos en \( z = 1 \) y \( z = -1 \) valen \( 1/2 \) y \( -1/2 \). Explicar por qué un contorno que encierre a los dos da cero.
Dibujar el contorno de Nyquist para un sistema con un polo en el origen, con su semicírculo de radio \( \varepsilon \) esquivándolo. Justificar con el teorema de Cauchy por qué ese desvío no cambia el resultado, y calcular cuánto aporta el semicírculo cuando \( \varepsilon \to 0 \).
06Errores frecuentes
- Aplicar el teorema sin revisar si hay singularidades adentro. Es la causa número uno de resultados cero que no son cero.
- Olvidar la condición de simplemente conexo. En una corona circular el teorema no vale directamente.
- Suponer que toda singularidad encerrada aporta \( 2\pi j \). Depende del residuo: \( 1/z^2 \) aporta cero.
- Perder de vista el sentido de recorrido. Horario cambia el signo de todo.
- Creer que el teorema calcula integrales. Dice cuándo valen cero; para el resto hacen falta la fórmula de Cauchy y los residuos.
07Autoevaluación
¿Qué dice el teorema, en una línea?
Que la integral de una función analítica sobre cualquier curva cerrada de un dominio simplemente conexo vale cero.
¿Qué papel juega Cauchy-Riemann en la demostración?
Los dos integrandos que deja el teorema de Green son justamente los dos residuos de Cauchy-Riemann, y se anulan.
¿Cuánto vale \( \oint e^z\,dz \) sobre cualquier curva cerrada?
Cero: \( e^z \) es entera, analítica en todo el plano.
¿Y \( \oint dz/z^2 \) sobre \( |z| = 1 \)?
Cero también, aunque haya una singularidad adentro: \( 1/z^2 \) tiene primitiva \( -1/z \).
¿Por qué \( \oint dz/(z^2-1) \) da cero sobre \( |z| = 2 \)?
Porque encierra los dos polos y sus residuos, \( 1/2 \) y \( -1/2 \), se cancelan. Encerrando uno solo daría \( \pi j \).
¿Para qué sirve deformar un contorno?
Para reemplazar uno complicado por otro cómodo —una circunferencia chica alrededor de cada polo— sin cambiar el valor. Es la base del método de residuos y del contorno de Nyquist.
08Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. El capítulo de Cauchy-Goursat, con la versión para dominios múltiplemente conexos y los cortes.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Problemas de deformación de contornos, que es donde el teorema deja de ser abstracto.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El contorno de Nyquist y sus desvíos alrededor de los polos, que es este teorema aplicado.