Análisis de Señales y Sistemas · 144 h · Contenido 6 de 34

Integrales de línea en el plano complejo

Entre dos puntos del plano hay infinitos caminos, y la integral se define sobre uno de ellos. Cada término de la suma es un vector, así que la integral se puede ver: es una cadena de flechitas cuyo extremo es el resultado.

Integral de contorno Parametrizar 2πj Cota ML Bromwich

01Integrar a lo largo de un camino

En una variable real, \( \int_a^b \) tiene un solo recorrido posible: del punto \( a \) al punto \( b \) sobre la recta. En el plano hay infinitos caminos entre dos puntos, y la integral se define sobre uno de ellos. La notación lo dice:

\[ \int_C f(z)\,dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(z_k)\,\Delta z_k \] La misma suma de Riemann de siempre, salvo que ahora cada término es un producto de complejos: tiene módulo y fase.

Ese detalle cambia todo. Cada término \( f(z_k)\,\Delta z_k \) es un vector del plano, y la integral es la suma de esos vectores puestos uno a continuación del otro. En el laboratorio se ve así: una cadena de flechitas cuyo extremo final es el valor de la integral.

Por qué le importa a un electrónico

La antitransformada de Laplace es una integral de línea en el plano complejo —la integral de Bromwich, sobre una recta vertical a la derecha de todos los polos—. Nadie la calcula así en la práctica, pero el método que sí se usa, el de los residuos, se deduce de acá. Todo lo que sigue en la materia pasa por este contenido.

02Cómo se calcula: parametrizar

No hay nada nuevo que inventar. Se describe el camino con un parámetro real \( t \), se reemplaza y queda una integral común:

\[ z = z(t), \quad t \in [a,b] \;\Longrightarrow\; \int_C f(z)\,dz = \int_a^b f\big(z(t)\big)\,z'(t)\,dt \]

El ejemplo que hay que saber de memoria es la circunferencia recorrida una vuelta en sentido antihorario. Con \( z = r\,e^{jt} \) resulta \( dz = j\,r\,e^{jt}\,dt \), y entonces:

\[ \oint_{|z| = r} \frac{dz}{z} = \int_0^{2\pi} \frac{j\,r\,e^{jt}}{r\,e^{jt}}\,dt = j\int_0^{2\pi} dt = 2\pi j \] No depende del radio. Ese \( 2\pi j \) va a aparecer en cada teorema de acá en adelante.

Y el resto de las potencias, sobre la misma circunferencia, da cero:

\[ \oint_{|z| = r} z^{n}\,dz = 0 \qquad \text{para todo entero } n \ne -1 \]

La razón es que todas esas potencias tienen primitiva —\( z^{n+1}/(n+1) \)— y una primitiva hace que la integral sobre un camino cerrado se anule. La excepción es \( n = -1 \), porque su primitiva sería el logaritmo, que es multivaluado y no vuelve al mismo valor después de dar la vuelta.

03La integral, camino a camino

Laboratorio · la suma que da la integral

A la izquierda, el camino y los puntos donde se evalúa la función. A la derecha, los términos \( f(z_k)\,\Delta z_k \) encadenados: el extremo de la cadena es el valor de la integral. Tocá el plano de la izquierda para mover el punto de llegada.

Subdivisiones = 24

04Cuándo el camino no importa

Probemos con \( f(z) = \bar{z} \), de \( 0 \) a \( 1 + j \). Por el segmento recto, con \( z = t(1+j) \):

\[ \int_0^1 t(1-j)\,(1+j)\,dt = \int_0^1 2t\,dt = 1 \]

Y por el camino en dos tramos, primero de \( 0 \) a \( 1 \) y después de \( 1 \) a \( 1+j \):

\[ \underbrace{\int_0^1 t\,dt}_{1/2} \;+\; \underbrace{\int_0^1 (1 - jt)\,j\,dt}_{\tfrac12 + j} \;=\; 1 + j \]

Dos caminos, dos resultados distintos. En cambio, con \( f(z) = z \) los dos dan \( j \), y lo mismo pasa con \( z^2 \) y con \( e^z \). La diferencia es la de siempre: \( \bar{z} \) no es analítica, y las otras sí.

Si \( f \) es…	La integral entre dos puntos…	Sobre un camino cerrado…
Analítica en toda la región	No depende del camino	Vale cero
Analítica salvo en un polo encerrado	Depende de por qué lado se pase	Vale \( 2\pi j \) por el residuo
No analítica	Depende del camino	Puede valer cualquier cosa

La primera fila es el teorema integral de Cauchy, que es el contenido siguiente. Conviene comprobarla antes en el laboratorio: con \( z^2 \) los tres caminos terminan en el mismo punto, y con \( \bar{z} \) no.

05La cota ML

Muchas veces no hace falta calcular la integral sino acotarla, sobre todo para demostrar que un pedazo de contorno aporta cero cuando el radio se va a infinito. La herramienta es elemental:

\[ \left| \int_C f(z)\,dz \right| \le M\,L, \qquad M = \max_{z \in C} |f(z)|, \qquad L = \text{longitud de } C \]

Con eso se prueba, por ejemplo, que la integral de \( 1/z^2 \) sobre una semicircunferencia de radio \( R \) está acotada por \( (1/R^2)(\pi R) = \pi/R \), que tiende a cero. Ese argumento es el que permite cerrar contornos en el infinito y quedarse sólo con la parte que interesa, que es exactamente lo que se hace al antitransformar.

06En el laboratorio

Actividad 1 · Verificar el 2πj

Calcular a mano \( \oint dz/z \) sobre la circunferencia de radio 2 parametrizando con \( z = 2e^{jt} \). Repetir con radio 0,5 y comprobar que da lo mismo. Contrastarlo con el laboratorio eligiendo el camino cerrado.

Actividad 2 · Los dos caminos de la conjugada

Rehacer con lápiz los dos cálculos de la sección 04 y verificar que dan 1 y \( 1+j \). Después buscar en el laboratorio un punto de llegada donde la diferencia entre caminos sea máxima.

Actividad 3 · La cota, medida

Para \( f(z) = 1/(z^2+1) \) sobre la semicircunferencia superior de radio \( R = 10 \), estimar \( M \) y \( L \), calcular la cota \( ML \) y compararla con el valor numérico de la integral. Comprobar cuán conservadora es.

07Errores frecuentes

Olvidar el \( z'(t) \). Al parametrizar hay que multiplicar por la derivada del camino, no sólo cambiar la variable.
Dar por sentado que la integral no depende del camino. Vale sólo si \( f \) es analítica en toda la región entre los dos caminos.
Equivocar el sentido de recorrido. Invertirlo cambia el signo; el sentido positivo es el antihorario.
Creer que \( \oint z^n dz = 0 \) siempre. Falla justo en \( n = -1 \), que es el caso interesante.
Usar la cota ML como si fuera el valor. Es una cota superior, y suele quedar muy por encima.

08Autoevaluación

¿Cuánto vale \( \oint dz/z \) sobre \( |z| = 3 \)?

\( 2\pi j \). No depende del radio: el \( r \) se cancela al parametrizar.

¿Y \( \oint z^5\,dz \) sobre la misma circunferencia?

Cero: tiene primitiva \( z^6/6 \), y sobre un camino cerrado la primitiva vuelve al mismo valor.

¿Por qué \( n = -1 \) es la excepción?

Porque su primitiva es el logaritmo, que es multivaluado: después de una vuelta el argumento cambió en \( 2\pi \).

¿Cuánto da \( \int \bar{z}\,dz \) de 0 a \( 1+j \) por el segmento recto?

1. Por el camino en dos tramos da \( 1 + j \): la conjugada no es analítica y el camino importa.

¿Para qué sirve la cota ML?

Para probar que un arco aporta cero cuando el radio crece, y poder cerrar contornos en el infinito.

¿Qué integral de línea hay detrás de la antitransformada de Laplace?

La de Bromwich, sobre una recta vertical a la derecha de todos los polos. Se resuelve cerrando el contorno y aplicando residuos.

09Para ampliar

Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. El capítulo de integrales, con la cota ML y la independencia del camino demostradas con cuidado.
Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Decenas de integrales de contorno resueltas, que es la única manera de agarrarle la mano.
A. David Wunsch. Variable compleja con aplicaciones. 2.ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. Conecta la integral de contorno con la antitransformada de Laplace antes que ningún otro.

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