Funciones analíticas y mapeo conforme
Cerca de un punto, toda función analítica se reduce a multiplicar por un número complejo: escalar y girar. Eso, y nada más, es lo que hace que los ángulos se conserven y que la carta de Smith se pueda dibujar con compás.
01Analítica, y lo que eso arrastra
Recapitulando: \( f \) es analítica en un dominio si es derivable en sentido complejo en todos sus puntos, lo que por Cauchy-Riemann equivale a que \( u \) y \( v \) estén amarradas entre sí. Esa exigencia, que al principio parece técnica, trae consecuencias geométricas muy concretas, y de ahí sale la herramienta que más se usa en alta frecuencia.
La clave está en mirar la aproximación de primer orden alrededor de un punto:
Y multiplicar por un complejo \( f'(z_0) = \rho\,e^{j\alpha} \) es una sola cosa: escalar por \( \rho \) y girar \( \alpha \). No estira más en una dirección que en otra, no corta, no refleja. Por eso una figura chica, transformada, sale igual a sí misma salvo tamaño y orientación.
02Conservar los ángulos
De la aproximación anterior sale el resultado central. Si dos curvas se cruzan en \( z_0 \) formando un ángulo \( \varphi \), sus imágenes se cruzan formando el mismo ángulo \( \varphi \), y además en el mismo sentido de giro. Un mapeo con esa propiedad se llama conforme.
Las dos tangentes giran lo mismo, así que la diferencia entre ellas —el ángulo— no cambia. Y como las longitudes se multiplican todas por el mismo \( \rho \), las figuras pequeñas conservan su forma. Las grandes no: la aproximación vale sólo en un entorno, y a escala de todo el plano una función analítica deforma cuanto quiera.
Dos rayos salen del punto elegido con los ángulos que se fijen abajo. A la derecha, en qué se convierten. Comparen el ángulo entre ellos de un lado y del otro, y achiquen el tamaño para ver el cuadradito volverse cuadrado.
\( f(z) = \bar{z} \) mantiene el valor absoluto del ángulo entre curvas, pero lo invierte de sentido: es una reflexión. A eso se lo llama anticonforme, y no es lo mismo. La definición de conforme incluye la orientación, y por eso equivale a ser analítica con derivada no nula.
03Donde deja de funcionar: los puntos críticos
Todo el razonamiento se apoyó en que \( f'(z_0) \ne 0 \). Si la derivada se anula, la aproximación de primer orden no dice nada y hay que ir al primer término que sobreviva:
Con \( w = z^2 \) en el origen, \( m = 2 \): dos curvas que se cruzaban a 45° salen cruzándose a 90°. Eso se ve en el laboratorio llevando el punto al cero. Los puntos donde \( f' \) se anula se llaman críticos, y son exactamente los lugares donde el mapeo deja de ser conforme.
En la función \( f(z) = z^3 - 3z \) del laboratorio hay dos: \( f'(z) = 3z^2 - 3 \) se anula en \( z = \pm 1 \). Llevando el punto ahí se ve el pliegue.
04Para qué se usa
| Aplicación | Qué se transforma | Qué se gana |
|---|---|---|
| Carta de Smith | \( \Gamma = \dfrac{z-1}{z+1} \) lleva el semiplano derecho al disco unitario | Todo el plano de impedancias entra en una hoja, y las circunferencias de \( r \) y de \( x \) siguen siendo circunferencias |
| Criterio de Nyquist | El contorno de Nyquist, mapeado por \( 1 + L(s) \) | Contar vueltas alrededor de −1 dice cuántos polos inestables tiene el lazo cerrado |
| Campos y capacidades | Una geometría complicada, llevada a un rectángulo o a un semiplano | Laplace se resuelve en la geometría simple y la solución se trae de vuelta |
| Microstrip | Schwarz-Christoffel, que mapea el semiplano al interior de un polígono | Da las fórmulas cerradas de impedancia característica que usan los programas de diseño |
| Estabilidad de filtros | \( z = e^{sT} \), del plano \( s \) al plano \( z \) | El semiplano izquierdo se convierte en el interior del círculo unitario |
La última fila se va a ver en detalle al llegar a la transformada Z, pero conviene registrarla ahora: el criterio de estabilidad de un filtro digital —polos dentro del círculo— es el criterio de siempre —polos a la izquierda— visto a través de un mapeo.
Si se recorre una curva cerrada en el plano \( s \) y se mira cómo gira su imagen alrededor del origen, el número de vueltas es \( Z - P \): los ceros menos los polos que quedaron adentro. Nyquist es esa cuenta aplicada a \( 1 + L(s) \), y el cálculo de residuos es la misma idea llevada a integrales. Todo lo que resta de la primera mitad de la materia sale de acá.
05En el laboratorio
Para \( f(z) = z^2 \) en \( z_0 = 1 + j \), calcular \( f'(z_0) = 2 + j2 \), su módulo \( 2\sqrt{2} \approx 2{,}83 \) y su argumento 45°. Transformar un cuadrado de lado 0,1 centrado ahí y verificar con regla y transportador que el resultado mide 0,283 de lado y está girado 45°.
Con \( f(z) = z^3 - 3z \), llevar el punto del laboratorio a \( z = 1 \) y comprobar que dos rayos separados 60° salen separados 120°. Verificar analíticamente que \( f'(1) = 0 \) y que la primera derivada no nula es la segunda.
Para \( L(s) = \dfrac{K}{s(s+1)(s+2)} \), evaluar \( L(j\omega) \) en una decena de frecuencias, graficar el resultado en el plano complejo y encontrar el valor de \( K \) que hace que la curva pase por −1. Contrastarlo con el que da el criterio de Routh.
06Errores frecuentes
- Creer que conforme significa «no deforma». Conserva ángulos y la forma de las figuras pequeñas; a escala grande deforma todo lo que haga falta.
- Olvidar la condición \( f'(z_0) \ne 0 \). En los puntos críticos los ángulos se multiplican.
- Tomar la conjugada por conforme. Conserva el ángulo pero invierte el sentido: es anticonforme.
- Confundir el factor de escala con la ganancia del circuito. \( |f'(z_0)| \) es un estiramiento local del plano, no una amplitud.
- Usar la aproximación de primer orden lejos del punto. Vale en un entorno, y el laboratorio muestra con qué rapidez se rompe al agrandar el tamaño.
07Autoevaluación
¿Qué dos cosas hace \( f'(z_0) \) localmente?
Su módulo escala y su argumento gira. Cerca de \( z_0 \), la función es esa multiplicación y nada más.
¿Por qué se conservan los ángulos?
Porque todas las tangentes giran el mismo \( \arg f'(z_0) \); la diferencia entre dos de ellas no cambia.
¿Qué pasa en un punto donde \( f' = 0 \)?
Los ángulos se multiplican por \( m \), el orden de la primera derivada no nula. Con \( z^2 \) en el origen, se duplican.
¿Dónde tiene puntos críticos \( f(z) = z^3 - 3z \)?
En \( z = \pm 1 \), donde \( f'(z) = 3z^2 - 3 \) se anula.
¿Qué transformación está detrás de la carta de Smith?
La bilineal \( \Gamma = (z-1)/(z+1) \), que lleva el semiplano derecho al disco unitario conservando circunferencias y ángulos.
¿Qué cuenta el principio del argumento?
Las vueltas que da la imagen de un contorno alrededor del origen: valen \( Z - P \), ceros menos polos encerrados. Es la base de Nyquist y de los residuos.
08Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. Los capítulos de mapeo conforme y sus aplicaciones a la ecuación de Laplace, con los ejemplos clásicos resueltos.
- David M. Pozar. Microwave Engineering. 4.ª ed., Wiley, 2011. La carta de Smith deducida como transformación bilineal, y el uso del mapeo en líneas planares.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El criterio de Nyquist presentado como un mapeo de contornos, que es exactamente lo que es.