Ecuaciones de Cauchy-Riemann
Dos ecuaciones en derivadas parciales amarran la parte real con la imaginaria: en una función derivable no se pueden elegir por separado. De ahí salen las funciones armónicas y, con ellas, el cálculo de campos.
01Dos caminos, una condición
En el contenido anterior quedó claro que la derivada compleja exige que el cociente incremental dé lo mismo por cualquier dirección. Basta con imponer que dos direcciones coincidan para obtener una condición sobre las partes real e imaginaria. Escribamos \( f(z) = u(x,y) + j\,v(x,y) \) y acerquémonos primero por el eje real, con \( \Delta z = \Delta x \):
Y ahora por el eje imaginario, con \( \Delta z = j\,\Delta y \). Dividir por \( j \) equivale a multiplicar por \( -j \):
Las dos expresiones tienen que ser el mismo número complejo. Igualar parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria da las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
02Las ecuaciones
Esa es la idea que conviene retener: en una función compleja derivable, \( u \) y \( v \) no son independientes. Conocida una, la otra queda determinada salvo una constante. Es lo que hace que el caso complejo sea tan distinto del real, donde dos funciones de dos variables no se deben nada entre sí.
Una vez que se cumplen, la derivada se puede calcular con cualquiera de las dos formas:
Si se toman \( z \) y \( \bar{z} \) como variables independientes, las dos ecuaciones de Cauchy-Riemann equivalen a una sola condición: \( \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 \). Una función derivable tiene que depender de \( z \) solamente. Por eso \( \bar{z} \), \( |z|^2 \) y \( \operatorname{Re}(z) \) fallan: todas esconden un \( \bar{z} \).
| Función | \( u,\ v \) | ¿Cumple? |
|---|---|---|
| \( z^2 \) | \( x^2 - y^2,\ 2xy \) | Sí: \( u_x = v_y = 2x \), \( u_y = -v_x = -2y \) |
| \( e^z \) | \( e^x\cos y,\ e^x \operatorname{sen} y \) | Sí, en todo el plano |
| \( \bar{z} \) | \( x,\ -y \) | No: \( u_x = 1 \) pero \( v_y = -1 \) |
| \( |z|^2 \) | \( x^2 + y^2,\ 0 \) | Sólo en \( z = 0 \) |
| \( \operatorname{Re}(z) \) | \( x,\ 0 \) | No: \( u_x = 1 \ne v_y = 0 \) |
03Las cuatro derivadas, medidas
Las curvas de nivel de \( u \) y las de \( v \) dicen todo lo que hay que saber. Si la función cumple Cauchy-Riemann, las dos familias se cruzan en ángulo recto y los gradientes tienen el mismo módulo, porque \( \nabla v \) es \( \nabla u \) girado 90°. Donde eso se rompe, la derivada no existe.
Curvas de nivel de \( u \) en azul y de \( v \) en verde, con los dos gradientes en el punto elegido. Tocá el lienzo para moverlo.
04Necesarias, y casi suficientes
Cauchy-Riemann es una condición necesaria: si \( f \) deriva en \( z_0 \), las ecuaciones se cumplen ahí. Al revés no alcanza. Existen funciones que satisfacen las dos ecuaciones en un punto y aun así no derivan, porque las parciales se comportan mal alrededor.
Si \( u \) y \( v \) tienen derivadas parciales de primer orden continuas en un entorno de \( z_0 \) y ahí se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces \( f \) es derivable en \( z_0 \), y es analítica en todo el entorno donde eso valga. En la práctica —polinomios, exponenciales, racionales fuera de sus polos— la continuidad está garantizada y verificar las dos ecuaciones alcanza.
En coordenadas polares, que es como conviene trabajar con \( z^n \), \( \ln z \) y todo lo que tenga simetría circular, las ecuaciones quedan:
05Funciones armónicas y el potencial complejo
Derivando la primera ecuación respecto de \( x \), la segunda respecto de \( y \) y sumando, los términos cruzados se cancelan y queda:
Acá la materia se cruza con Física y con Campos. El potencial electrostático en una región sin carga cumple exactamente esa ecuación. Entonces, si se toma \( u \) como el potencial, la función \( v \) que la acompaña —su armónica conjugada— tiene por curvas de nivel las líneas de campo, porque son ortogonales a las equipotenciales. Las dos familias que se ven en el laboratorio son, en un problema real, el mapa de equipotenciales y el de líneas de fuerza.
Construir la conjugada es integrar las ecuaciones. Con \( u = x^2 - y^2 \):
De donde \( g'(x) = 0 \) y \( v = 2xy + C \): la función era \( f(z) = z^2 \) más una constante imaginaria. Ese procedimiento es el que permite, en un problema de campo, obtener las líneas de fuerza a partir del potencial sin resolver nada más.
La capacidad por unidad de longitud de una línea de dos conductores, el campo en el borde de un microstrip y la impedancia característica de un coaxial deformado se calculan con esta idea: se transforma la geometría difícil en una simple con un mapeo conforme, se resuelve Laplace ahí —donde es trivial— y se vuelve. Cauchy-Riemann es lo que garantiza que el problema siga siendo el mismo después de la transformación.
06En el laboratorio
Para \( f(z) = z^3 \), desarrollar \( u \) y \( v \) en función de \( x \) e \( y \), calcular las cuatro parciales y comprobar las dos ecuaciones. Después obtener \( f'(z) \) con las dos formas de la sección 02 y verificar que ambas dan \( 3z^2 \).
Tomar \( f(z) = z\,\operatorname{Re}(z) = x^2 + jxy \) y encontrar los puntos donde se cumplen las ecuaciones. Comprobar que sólo se cumplen en el origen, y que por lo tanto la función no es analítica en ningún punto.
Armar una cuba electrolítica con dos electrodos y relevar con una punta las curvas de igual potencial sobre el papel. Dibujar encima, a mano, la familia ortogonal: son las líneas de campo, y son las curvas de nivel de la armónica conjugada del potencial.
07Errores frecuentes
- Equivocar el signo. La segunda ecuación es \( u_y = -v_x \); escribirla sin el menos da por analítica a la conjugada, que no lo es.
- Creer que cumplir las ecuaciones basta. Hacen falta además parciales continuas en un entorno.
- Confundir un punto con un entorno. \( |z|^2 \) cumple Cauchy-Riemann en el origen y no es analítica en ninguna parte.
- Elegir \( u \) y \( v \) por separado. No son independientes: fijada una, la otra queda determinada salvo constante.
- Usar la forma cartesiana donde conviene la polar. Con \( \ln z \) o \( z^{1/2} \), la versión polar ahorra la mitad del trabajo.
08Autoevaluación
Escribí las dos ecuaciones sin mirar.
\( u_x = v_y \) y \( u_y = -v_x \). El signo va en la segunda.
¿Por qué \( \bar{z} \) no las cumple?
Con \( u = x \) y \( v = -y \): \( u_x = 1 \) mientras \( v_y = -1 \). Falla la primera en todo punto del plano.
Si \( u = x^2 - y^2 \), ¿cuál es su armónica conjugada?
\( v = 2xy + C \), que reconstruye \( f(z) = z^2 \) salvo una constante.
¿Qué relación geométrica hay entre \( \nabla u \) y \( \nabla v \)?
Son perpendiculares y del mismo módulo: \( \nabla v \) es \( \nabla u \) girado 90°. De ahí que las curvas de nivel se crucen en ángulo recto.
¿Qué ecuación cumplen \( u \) y \( v \) por separado?
La de Laplace: \( u_{xx} + u_{yy} = 0 \). Son funciones armónicas, que es lo mismo que cumple un potencial electrostático sin cargas.
¿Cumplir las ecuaciones en un punto garantiza que haya derivada?
No. Hace falta además que las parciales sean continuas en un entorno; sin eso, hay contraejemplos.
09Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. La deducción de las ecuaciones, la condición suficiente y la forma polar, con las demostraciones completas.
- A. David Wunsch. Variable compleja con aplicaciones. 2.ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. El capítulo de funciones armónicas y potencial complejo, pensado para problemas de campo.
- Matthew N. O. Sadiku. Elementos de electromagnetismo. 5.ª ed., Oxford University Press, 2018. Laplace en dos dimensiones, para ver del otro lado lo mismo que acá se deduce de la derivada compleja.