Límite, continuidad y derivada compleja
La definición de derivada es la misma que en cálculo real, pero ahora el incremento puede llegar por infinitas direcciones y el cociente tiene que dar lo mismo en todas. Esa sola exigencia es la que hace que la variable compleja sea tan distinta.
01Un límite con infinitos caminos
En una variable real, acercarse a un punto admite apenas dos caminos: por izquierda y por derecha. Por eso alcanza con los dos límites laterales. En el plano complejo, \( z \) puede acercarse a \( z_0 \) por infinitas direcciones y, además, por curvas en espiral. El límite existe sólo si todos esos caminos dan el mismo número.
El cambio de intervalo a disco es lo que endurece todo lo que viene. Comprobar un límite complejo probando dos o tres direcciones no demuestra nada: para negar que existe alcanza con encontrar dos caminos que den resultados distintos, pero para afirmarlo hay que acotar el módulo.
La función de transferencia de un circuito, \( H(s) \), es una función compleja. El comportamiento cerca de un polo —qué pasa cuando \( s \) se aproxima a la frecuencia de resonancia— es literalmente un problema de límite en el plano. Y todo el aparato que viene después —Cauchy, residuos, Nyquist— se apoya en que esas funciones son derivables en sentido complejo.
02Continuidad
\( f \) es continua en \( z_0 \) si el límite existe y coincide con el valor de la función: \( \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0) \). Como \( f = u + jv \), esto equivale a que las dos funciones reales \( u(x,y) \) y \( v(x,y) \) sean continuas en \( (x_0, y_0) \). Nada nuevo, entonces: polinomios, exponencial, seno y coseno son continuos en todo el plano, y los cocientes lo son salvo donde se anula el denominador.
El argumento \( \operatorname{Arg} z \), tomado en la rama principal, no es continuo sobre el semieje real negativo: por arriba tiende a \( +\pi \) y por abajo a \( -\pi \). Ese salto de 360° es exactamente el que muestra un analizador de redes cuando la fase «se enrolla», y por eso los programas de medición traen una función de desenrollado.
03La derivada, y por qué exige tanto
La definición es idéntica a la real:
Pero ahora \( \Delta z \) es un número complejo que puede tender a cero desde cualquier dirección, y el cociente tiene que dar el mismo valor en todas. Esa es la diferencia de fondo con el cálculo real: no es la misma definición con otros símbolos, es una condición mucho más restrictiva.
Escribamos \( \Delta z = r\,e^{j\theta} \) y dejemos fija la dirección \( \theta \) mientras \( r \to 0 \). Cada \( \theta \) da un valor del cociente. Si al achicar \( r \) todos esos valores se juntan en un punto, la derivada existe; si se quedan repartidos, no.
A la izquierda, el punto \( z_0 \) y el círculo de radio \( |\Delta z| \) por donde se acerca el incremento. A la derecha, el valor del cociente \( \Delta w / \Delta z \) para todas las direcciones a la vez. Achicá el radio y mirá si esa curva se contrae a un punto.
04La conjugada: el contraejemplo de cabecera
Tomemos \( f(z) = \bar{z} \), que cambia el signo de la parte imaginaria. Es continua en todo el plano y su fórmula no puede ser más simple. El cociente incremental sale a mano:
Acercándose por el eje real (\( \theta = 0 \)) el cociente vale \( 1 \); por el eje imaginario (\( \theta = 90^\circ \)) vale \( -1 \). Dos caminos, dos resultados: la conjugada no es derivable en ningún punto del plano, a pesar de ser continua en todos. En el laboratorio se ve como un círculo de radio uno que no se achica nunca.
| Función | Cociente incremental | ¿Derivable? |
|---|---|---|
| \( z^2 \) | \( 2z_0 + \Delta z \) | Sí, en todo el plano |
| \( 1/z \) | \( \dfrac{-1}{z_0(z_0 + \Delta z)} \) | Sí, salvo en \( z = 0 \) |
| \( \bar{z} \) | \( e^{-2j\theta} \) | En ningún punto |
| \( |z|^2 \) | \( \bar{z}_0 + \overline{\Delta z} + z_0\,e^{-2j\theta} \) | Sólo en \( z = 0 \) |
| \( \operatorname{Re}(z) \) | \( \cos\theta\;e^{-j\theta} \) | En ningún punto |
El patrón se repite: apenas aparece \( \bar{z} \), o \( |z| \), o la parte real o imaginaria por separado, la derivada se cae. La razón profunda la da el contenido siguiente, con las ecuaciones de Cauchy-Riemann: esas funciones mezclan \( z \) con \( \bar{z} \), y una función derivable tiene que depender de \( z \) solamente.
El caso de \( |z|^2 \) es interesante porque falla en casi todo el plano pero se salva en el origen: ahí \( z_0 = 0 \) anula el término que dependía de la dirección y queda \( \overline{\Delta z} \), que sí tiende a cero. Es derivable en un punto aislado, y eso no alcanza para nada: hace falta que lo sea en todo un entorno.
05Derivable en un entorno: función analítica
Una función es analítica —u holomorfa— en un punto si es derivable en ese punto y en todo un disco alrededor. La distinción importa: \( |z|^2 \) es derivable en el origen pero no es analítica en ninguna parte, porque no hay ningún disco donde lo sea.
En reales, una función puede ser derivable una vez y no dos. En complejos eso es imposible: si \( f \) es analítica en un dominio, tiene derivadas de todos los órdenes y coincide con su serie de Taylor. Derivar una vez en un entorno, en el plano complejo, obliga a todo lo demás. De esa rigidez salen los teoremas de Cauchy y el cálculo de residuos.
Las reglas de derivación, en cambio, son las mismas de siempre y se demuestran igual: suma, producto, cociente y cadena. Y las derivadas conocidas también:
Las funciones analíticas en todo el plano se llaman enteras: los polinomios, \( e^z \), \( \operatorname{sen} z \) y \( \cos z \). Una función racional \( H(s) = N(s)/D(s) \) —es decir, cualquier función de transferencia de un circuito con elementos concentrados— es analítica en todo el plano salvo en los ceros del denominador, que son los polos. Esa frase, dicha ahora en el vocabulario de la variable compleja, es la que habilita el análisis de estabilidad que se hace en Control.
06En el laboratorio
Para \( f(z) = \bar{z}/z \), calcular el límite cuando \( z \to 0 \) acercándose por el eje real, por el imaginario y por la recta a 45°. Comprobar que dan 1, −1 y −j respectivamente, y concluir que el límite no existe. Repetir con \( f(z) = z^2/|z|^2 \).
En una planilla, evaluar el cociente incremental de \( f(z) = e^z \) en \( z_0 = 1 + j \) para \( |\Delta z| = 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3} \) y ocho direcciones. Verificar que los 24 valores convergen a \( e^{1+j} \approx 1{,}469 + j\,2{,}287 \), y que el error cae proporcionalmente a \( |\Delta z| \).
Medir con un generador y un osciloscopio el desfasaje de un pasabajos RC entre 10 Hz y 100 kHz, y graficarlo. Identificar dónde el instrumento salta de −180° a +180° y corregirlo a mano. Es la discontinuidad de \( \operatorname{Arg} z \), vista con un cable en la mano.
07Errores frecuentes
- Probar dos direcciones y dar el límite por existente. Sirve para negarlo, no para afirmarlo: hay funciones que coinciden por todas las rectas y fallan por una parábola.
- Confundir continua con derivable. Derivable implica continua, nunca al revés; \( \bar{z} \) es el ejemplo de manual.
- Creer que una fórmula simple garantiza derivabilidad. \( \bar{z} \), \( |z| \) y \( \operatorname{Re}(z) \) son elementales y no derivan en ningún punto.
- Decir «analítica» cuando sólo hay derivabilidad en un punto. Analítica exige un entorno entero.
- Olvidar que \( \operatorname{Arg} z \) tiene un corte. Derivar a través del semieje real negativo no es válido con la rama principal.
08Autoevaluación
¿Por qué no alcanza con los límites laterales, como en reales?
Porque \( z \to z_0 \) admite infinitas direcciones y también curvas. La condición es sobre un disco, no sobre un intervalo.
¿Cuánto vale \( \Delta w/\Delta z \) para \( f(z) = \bar{z} \) si el incremento va a 45°?
\( e^{-2j\,45^\circ} = e^{-j90^\circ} = -j \). Por el eje real daría 1: dos caminos, dos valores, no hay derivada.
\( |z|^2 \) es derivable en \( z = 0 \). ¿Es analítica ahí?
No. Analítica exige derivabilidad en todo un entorno, y en cualquier disco alrededor del origen hay puntos donde falla.
¿Dónde es analítica \( H(s) = \dfrac{1}{s^2 + 2s + 5} \)?
En todo el plano salvo en \( s = -1 \pm j2 \), los ceros del denominador. Son los polos del circuito, y ahí la función no está definida.
Si \( f \) es analítica en un dominio, ¿cuántas veces se puede derivar?
Infinitas. Es una propiedad exclusiva del caso complejo: derivar una vez en un entorno obliga a que existan todas las derivadas.
¿Qué se ve en el laboratorio cuando una función no es derivable?
Que el rastro del cociente incremental no se contrae al achicar el radio: queda una curva de tamaño fijo, porque cada dirección da un valor distinto.
09Para ampliar
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. Los capítulos de límites, continuidad y derivadas, con la construcción cuidadosa de los contraejemplos.
- A. David Wunsch. Variable compleja con aplicaciones. 2.ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1997. Escrito para ingeniería: cada concepto llega con un circuito o un campo detrás.
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Ejercicios resueltos de límites por distintos caminos, que es donde se aprende a negarlos.