Funciones de variable compleja
Una función compleja no se grafica con una curva: se muestra en qué convierte cada figura del plano. Así se entiende de dónde sale la carta de Smith, y por qué la exponencial compleja describe todo lo que oscila y se apaga.
01Una función que no se puede graficar
Una función real \( y = f(x) \) se dibuja con una curva: dos ejes alcanzan. Una función compleja \( w = f(z) \) toma un punto del plano y devuelve otro punto del plano: harían falta cuatro dimensiones para graficarla.
La salida es dibujar dos planos, el de partida y el de llegada, y mostrar en qué se convierte cada figura. Eso es lo que se llama mapeo, y es la manera natural de entender qué hace una función compleja.
La función de transferencia de un circuito es una función compleja: a cada valor de \( s = \sigma + j\omega \) le asigna un número complejo \( H(s) \). Cuando se recorre el eje imaginario se obtiene la respuesta en frecuencia; cuando se buscan los puntos donde \( H \) se hace infinita, aparecen los polos. Todo lo que sigue en la materia es leer una función compleja en algún lugar del plano.
02Las funciones que hay que conocer
| Función | Qué le hace al plano | Dónde aparece |
|---|---|---|
| \( w = z + c \) | Traslada | Corrimiento de nivel de continua |
| \( w = az \) | Escala y gira | Ganancia y desfasaje de una etapa |
| \( w = z^2 \) | Duplica el ángulo, eleva el módulo | Mezclador, segundo armónico |
| \( w = 1/z \) | Invierte respecto del círculo unitario | Impedancia a admitancia |
| \( w = e^z \) | Lleva rectas horizontales a rayos y verticales a círculos | Exponencial compleja, fasores |
| \( w = \dfrac{z-1}{z+1} \) | Lleva el semiplano derecho al círculo unitario | La carta de Smith |
La última fila merece atención: esa transformación, llamada bilineal o de Möbius, es la que convierte el semiplano de impedancias —infinito e imposible de dibujar— en un círculo de radio uno que entra en una hoja. Eso, y nada más, es la carta de Smith.
A la izquierda, una grilla en el plano z; a la derecha, en qué se convierte al aplicarle la función. Tocá el plano de la izquierda para seguir un punto.
03La exponencial compleja
Es la función más importante de toda la materia. Separando módulo y fase:
- La parte real de \( z \) controla cuánto crece o se apaga.
- La parte imaginaria controla cuánto gira.
- Es periódica de período \( 2\pi j \): \( e^{z + 2\pi j} = e^{z} \). Una función compleja periódica en dirección imaginaria, algo que no tiene análogo real.
Cuando en la materia aparezca \( e^{st} \) con \( s = \sigma + j\omega \), ya está todo dicho: la señal gira a \( \omega \) radianes por segundo mientras su amplitud se multiplica por \( e^{\sigma t} \). Con \( \sigma \lt 0 \) se apaga, con \( \sigma \gt 0 \) crece, y con \( \sigma = 0 \) queda una senoidal pura. Esa única fórmula contiene toda la respuesta natural de un circuito.
Como la exponencial es periódica, su inversa no puede ser una función común: \( \ln z = \ln|z| + j(\arg z + 2\pi k) \) para cualquier entero \( k \). Se elige una rama —normalmente la de \( -\pi \lt \arg z \le \pi \)— y hay que declararlo. Ese mismo fenómeno es el que hace que la fase medida por un analizador aparezca «enrollada» entre −180° y 180°, y haya que desenrollarla.
04Mapeo conforme
Una función analítica —derivable en un entorno, lo que se estudia en el contenido siguiente— tiene una propiedad geométrica notable: donde su derivada no se anula, conserva los ángulos. Dos curvas que se cruzaban a 90° en el plano z siguen cruzándose a 90° después de transformarlas, aunque las curvas se hayan deformado por completo.
En el laboratorio se ve solo: la grilla de partida tiene todos sus cruces en ángulo recto, y la transformada, por más retorcida que quede, los mantiene. Donde eso se rompe —en \( z = 0 \) para \( w = z^2 \), por ejemplo— es justo donde la derivada se anula, y esos puntos se llaman críticos.
| Se usa para | Cómo |
|---|---|
| La carta de Smith | Llevar el semiplano de impedancias a un círculo |
| Campos y capacidades | Transformar una geometría difícil en una simple, resolver ahí y volver |
| Líneas de transmisión | Pasar entre coeficiente de reflexión e impedancia |
| Estabilidad | Mapear el contorno de Nyquist y contar vueltas alrededor de −1 |
05En el laboratorio
Tomar cinco impedancias normalizadas —0, 1, ∞, j y −j— y calcular \( \Gamma = (z-1)/(z+1) \) para cada una. Ubicar los resultados en la carta y comprobar que caen donde corresponde: centro, borde derecho, borde izquierdo y los dos extremos del círculo.
Dibujar en papel una grilla de 1×1 en el primer cuadrante y transformarla con \( w = z^2 \) punto por punto. Verificar que los cruces siguen en ángulo recto salvo en el origen.
En un RC con escalón de entrada, capturar la respuesta y ajustar \( e^{\sigma t} \). Comprobar que \( \sigma = -1/RC \) coincide con el polo del circuito, que es el punto del plano donde la función de transferencia se hace infinita.
06Errores frecuentes
- Intentar graficar \( w = f(z) \) con una curva. Hacen falta dos planos.
- Olvidar que el logaritmo y la raíz son multivaluados y quedarse con una rama sin declararlo.
- Creer que \( e^z \) nunca vale lo mismo dos veces. Es periódica en dirección imaginaria.
- Suponer que toda función compleja conserva ángulos. Sólo las analíticas, y sólo donde la derivada no se anula.
- Confundir \( |e^z| \) con \( e^{|z|} \). El módulo de \( e^z \) es \( e^{x} \), y depende sólo de la parte real.
07Autoevaluación
¿Cuánto vale \( |e^{2+j5}| \)?
\( e^2 \approx 7{,}39 \): el módulo depende sólo de la parte real; la imaginaria sólo gira.
¿En qué se convierte el eje imaginario bajo \( w = (z-1)/(z+1) \)?
En el círculo unitario. Por eso las impedancias puramente reactivas caen sobre el borde de la carta de Smith: reflejan toda la potencia.
¿Qué le hace \( w = z^2 \) al primer cuadrante?
Lo estira hasta cubrir el semiplano superior completo: duplica todos los ángulos.
¿Por qué \( \ln z \) tiene infinitos valores?
Porque \( e^z \) es periódica de período \( 2\pi j \), así que infinitos \( z \) dan la misma exponencial.
Si \( s = -100 + j2000 \), ¿cómo es la señal \( e^{st} \)?
Una oscilación de 2000 rad/s —unos 318 Hz— cuya amplitud decae con constante de tiempo \( 1/100 = 10 \) ms. Es la respuesta típica de un RLC subamortiguado.
¿Qué significa que un mapeo sea conforme?
Que conserva los ángulos entre curvas. Pasa con las funciones analíticas donde la derivada no se anula.
08Para ampliar
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Los capítulos de funciones elementales y transformaciones, con muchos mapeos resueltos.
- Ruel V. Churchill y James W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2004. El tratamiento clásico del mapeo conforme y sus aplicaciones a campos.
- David M. Pozar. Microwave Engineering. 4.ª ed., Wiley, 2011. La transformación bilineal puesta a trabajar: la carta de Smith, deducida paso a paso.