El plano complejo y sus regiones
Los complejos no son un artificio: son la herramienta natural para todo lo que oscila. Un fasor, una impedancia y un polo son puntos de este plano, y las regiones que se dibujan en él dicen si un circuito es estable.
01Por qué un electrónico necesita los complejos
La palabra «imaginario» es una desgracia histórica: sugiere que no existe. En electrónica, el plano complejo es el lugar donde viven las cosas más concretas de la carrera.
| Objeto del plano complejo | Qué es en electrónica |
|---|---|
| Un punto en forma polar | Un fasor: amplitud y fase de una señal senoidal |
| Un número \( R + jX \) | Una impedancia: resistencia y reactancia |
| Multiplicar por \( e^{j\theta} \) | Desfasar una señal \( \theta \) radianes |
| Un punto del semiplano izquierdo | Un polo estable: la respuesta se apaga |
| El círculo unitario | El borde de estabilidad de un sistema discreto |
| El círculo \( |\Gamma| = \text{cte} \) | Una circunferencia de la carta de Smith |
Toda esta materia se construye sobre ese plano: los polos y ceros, la transformada de Laplace, la transformada Z y la respuesta en frecuencia son lecturas de puntos y regiones ahí adentro.
02Las tres formas de escribir lo mismo
| Para | Conviene | Porque |
|---|---|---|
| Sumar y restar | Binómica | Se suman parte real y parte imaginaria por separado |
| Multiplicar y dividir | Polar o exponencial | Los módulos se multiplican y los ángulos se suman |
| Elevar a una potencia | Exponencial | \( z^n = r^n e^{jn\theta} \), la fórmula de De Moivre |
| Derivar e integrar | Exponencial | La exponencial es su propia derivada, salvo un factor |
Es el puente entre lo que oscila y lo que crece: convierte senos y cosenos en exponenciales, que son muchísimo más fáciles de derivar, integrar y multiplicar. Todo el método fasorial que se usa en corriente alterna sale de acá.
Tocá el plano para mover el punto, o usá los deslizadores. Las operaciones se dibujan sobre el mismo plano.
03Qué hace cada operación en el plano
Toda operación con complejos es un movimiento geométrico. Verlo así evita memorizar fórmulas:
| Operación | En el plano | Dónde aparece |
|---|---|---|
| Sumar | Poner los vectores punta con cola | Sumar dos tensiones desfasadas |
| Multiplicar por \( r\,e^{j\theta} \) | Escalar por \( r \) y girar \( \theta \) | Pasar por una red que atenúa y desfasa |
| Multiplicar por \( j \) | Girar 90° sin cambiar el tamaño | Derivar una senoidal; la reactancia inductiva |
| Conjugar | Reflejar respecto del eje real | Adaptación de impedancias: \( Z_L = Z_S^* \) |
| Invertir \( 1/z \) | Invertir el módulo y cambiar el signo del ángulo | Pasar de impedancia a admitancia |
| Elevar al cuadrado | Duplicar el ángulo y elevar el módulo | Un mezclador, que genera el doble de frecuencia |
Un complejo tiene n raíces n-ésimas, repartidas en los vértices de un polígono regular inscripto en una circunferencia de radio \( \sqrt[n]{r} \):
Esas raíces son las que aparecen al resolver la ecuación característica de un sistema, y su posición en el plano decide si la respuesta oscila, se apaga o crece.
04Regiones: donde una desigualdad dibuja una figura
Una desigualdad entre complejos no define un intervalo, como en los reales, sino una región del plano. Reconocerlas de memoria ahorra mucho trabajo:
| Condición | Región | Qué significa en la carrera |
|---|---|---|
| \( |z - z_0| = r \) | Circunferencia de centro \( z_0 \) | Un lugar de módulo constante |
| \( |z - z_0| \lt r \) | Disco abierto | Entorno de un punto: la base de los límites |
| \( r_1 \lt |z| \lt r_2 \) | Anillo | Región de convergencia de la transformada Z |
| \( \operatorname{Re}(z) \lt 0 \) | Semiplano izquierdo | Zona estable de Laplace |
| \( |z| \lt 1 \) | Círculo unitario | Zona estable de la transformada Z |
| \( |\arg z| \lt \alpha \) | Sector angular | Amortiguamiento mínimo de un sistema |
Las dos filas resaltadas son el motivo por el que esta materia empieza con variable compleja: la pregunta «¿este sistema es estable?» se contesta mirando dónde caen sus polos en el plano.
05El fasor, que es todo esto junto
Una señal senoidal \( v(t) = V_p \cos(\omega t + \varphi) \) se puede escribir como la parte real de una exponencial compleja que gira:
Con eso, un circuito con derivadas e integrales se convierte en uno algebraico: derivar es multiplicar por \( j\omega \) e integrar es dividir por \( j\omega \). De ahí salen \( Z_L = j\omega L \) y \( Z_C = 1/(j\omega C) \), y la ley de Ohm vuelve a funcionar, ahora con complejos.
Vale cuando todo oscila a la misma frecuencia y ya pasó el transitorio. Para el encendido, para un pulso o para una señal cualquiera, hace falta la herramienta más general que se estudia después: Laplace, que es esta misma idea con una exponencial que además crece o se apaga, \( e^{st} \) con \( s = \sigma + j\omega \).
06En el laboratorio
Con un generador y un osciloscopio de dos canales, medir amplitud y desfasaje en un circuito RC. Dibujar el fasor de entrada y el de salida en papel milimetrado y verificar el ángulo con \( \varphi = -\arctan(\omega RC) \).
Calcular a mano las cinco raíces quintas de la unidad y graficarlas. Comprobar que forman un pentágono regular y que su suma es cero.
Para un RLC serie a tres frecuencias, calcular \( Z \) en binómica y en polar, y su inversa \( Y = 1/Z \). Verificar que invertir refleja el punto respecto del círculo unitario y cambia el signo del ángulo, como en el laboratorio de esta página.
07Errores frecuentes
- Confundir \( j \) con \( i \). En electrónica \( i \) es corriente; el imaginario es \( j \).
- Sumar en polar. Para sumar hay que pasar a binómica; sólo el producto y el cociente son cómodos en polar.
- Perder el cuadrante al calcular el ángulo con \( \arctan(b/a) \): hay que mirar los signos de \( a \) y \( b \), o usar la función de dos argumentos.
- Mezclar grados y radianes en la misma cuenta.
- Olvidar que la raíz n-ésima tiene n resultados y quedarse con uno solo.
- Escribir el fasor con el valor pico cuando se venía trabajando en eficaces, o al revés.
08Autoevaluación
Escribir \( z = 3 + j4 \) en forma polar.
\( r = \sqrt{9+16} = 5 \) y \( \theta = \arctan(4/3) \approx 53{,}13^\circ \), o sea \( 5\,e^{j53{,}13^\circ} \).
¿Qué le hace a un fasor multiplicarlo por \( j \)?
Lo gira 90° en sentido antihorario sin cambiar su módulo. Es lo que hace derivar una senoidal.
¿Qué región es \( 1 \lt |z| \lt 2 \)?
Un anillo centrado en el origen, entre los radios 1 y 2. Es la forma típica de una región de convergencia en la transformada Z.
¿Dónde tienen que estar los polos de un sistema continuo para que sea estable?
En el semiplano izquierdo, con parte real negativa: así la exponencial \( e^{st} \) se apaga en lugar de crecer.
¿Cuántas raíces cúbicas tiene 8 y dónde están?
Tres, de módulo 2, separadas 120°: \( 2 \), \( 2e^{j120^\circ} \) y \( 2e^{j240^\circ} \). Sólo la primera es real.
¿Por qué el conjugado aparece en la adaptación de impedancias?
Porque la máxima transferencia de potencia se da con \( Z_L = Z_S^* \): la misma resistencia y la reactancia opuesta, de modo que se cancelen.
09Para ampliar
- Murray R. Spiegel. Variable compleja. Serie Schaum, McGraw-Hill, 2011. Teoría breve y cientos de problemas resueltos: el compañero clásico de esta parte de la materia.
- Erwin Kreyszig. Matemáticas avanzadas para ingeniería, volumen 2. 3.ª ed., Limusa Wiley, 2003. Variable compleja con la mirada del ingeniero y buenos ejemplos de aplicación.
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Pearson, 1997. El libro de toda la materia; conviene tenerlo desde el primer día.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2013. El capítulo de fasores, para ver estos complejos midiendo circuitos reales.