Teoremas de convolución y modulación
Convolucionar en un dominio es multiplicar en el otro. El primer teorema permite analizar filtros; el segundo permite mover señales en frecuencia, y de él sale toda la radio.
01Dos teoremas que son el mismo
Ya aparecieron sueltos; conviene verlos juntos porque su simetría es la que organiza medio procesamiento de señales:
El primero es el que permite analizar filtros. El segundo es el que permite mover señales en frecuencia, y de él salen la radio, la televisión, el celular y cualquier cosa que transmita.
| Si en el tiempo… | En frecuencia… | Aplicación |
|---|---|---|
| Se convoluciona con \( h \) | Se multiplica por \( H \) | Filtrar |
| Se multiplica por un coseno | El espectro se parte en dos y se corre | Modular |
| Se multiplica por una ventana | El espectro se ensancha | Análisis espectral |
| Se multiplica por un tren de impulsos | El espectro se repite | Muestrear |
Las últimas dos filas ya se usaron sin nombrarlas: la fuga espectral y las réplicas del muestreo son el mismo teorema aplicado a dos multiplicaciones distintas.
02Modulación de amplitud
El caso más directo. Multiplicar una señal por una portadora corre su espectro entero hasta la frecuencia de la portadora, y aparecen dos copias: las bandas laterales. Si además se suma la portadora, la señal original queda dibujada en la envolvente, y se la puede recuperar con un diodo y un capacitor.
Arriba la señal modulada con su envolvente; abajo el espectro. Movés el índice de modulación y mirás las dos cosas: cuánta potencia se va en la portadora y qué pasa al pasarse de 1.
03Las variantes, y qué se gana con cada una
| Tipo | Ancho de banda | Eficiencia | Demodulación |
|---|---|---|---|
| AM con portadora | \( 2B \) | 33 % como máximo | Un diodo: detector de envolvente |
| DSB sin portadora | \( 2B \) | 100 % | Coherente: hace falta la portadora en el receptor |
| Banda lateral única | \( B \) | 100 % | Coherente, y además sensible a errores de frecuencia |
La primera fila tiene el peor rendimiento y aun así fue la que se usó durante ochenta años en la radio comercial. La razón es económica y está del lado del receptor: transmitir la portadora desperdicia potencia en el transmisor, pero permite que el receptor sea un diodo, un capacitor y un resistor. Con millones de receptores y un solo transmisor, conviene gastar en el transmisor.
Con una moduladora senoidal, la potencia total vale \( P_c(1 + m^2/2) \) y la que llevan las bandas laterales —la única que lleva información— es \( P_c\,m^2/2 \). El cociente, con el mejor caso \( m = 1 \), da \( 0{,}5/1{,}5 = 33{,}3\,\% \). Dos tercios de la potencia de un transmisor de AM se van en una portadora que no dice nada. El laboratorio calcula ese número para cada \( m \).
04Pasarse de uno
Con \( m \gt 1 \) la envolvente cruza por cero y se da vuelta. El espectro sigue estando bien —la información no se perdió— pero el detector de envolvente, que sólo sigue el contorno superior, entrega una señal distorsionada.
Eso explica una asimetría que confunde al principio: la sobremodulación no rompe la señal, rompe al receptor barato. Un detector coherente recuperaría la moduladora sin problema. Por eso los transmisores de AM llevan un limitador que impide pasar de \( m = 1 \), y por eso en DSB sin portadora el concepto de índice de modulación ni siquiera aplica.
05En el laboratorio
Generar una AM con un multiplicador analógico y medir en el osciloscopio los valores máximo y mínimo de la envolvente. Calcular \( m = (A_{\max} - A_{\min})/(A_{\max} + A_{\min}) \) y contrastar con el valor programado.
Modular una portadora de 1 MHz con un tono de 5 kHz y medir el espectro. Verificar que las bandas están a \( \pm 5 \) kHz y que su amplitud vale \( m/2 \) respecto de la portadora.
Subir el índice por encima de 1 y comparar la salida de un detector de envolvente con la de un detector coherente. Explicar por qué uno distorsiona y el otro no.
06Errores frecuentes
- Olvidar el \( 1/2\pi \) del teorema de la multiplicación, o arrastrarlo trabajando en hertz.
- Creer que la sobremodulación destruye la información. El espectro sigue completo; lo que falla es el detector de envolvente.
- Suponer que AM ocupa el ancho de la moduladora. Ocupa el doble: son dos bandas laterales.
- Pensar que la portadora lleva información. No lleva ninguna, y se queda con dos tercios de la potencia.
- Demodular DSB sin portadora con un diodo. Hace falta un detector coherente.
07Autoevaluación
¿Qué dice el teorema de la multiplicación?
Que multiplicar en el tiempo equivale a convolucionar los espectros, dividido \( 2\pi \).
¿Qué ancho de banda ocupa una AM de una señal de 5 kHz?
10 kHz: dos bandas laterales de 5 kHz alrededor de la portadora.
¿Cuál es la eficiencia máxima de la AM con portadora?
33,3 %, con \( m = 1 \). Los otros dos tercios se van en la portadora.
¿Qué pasa con \( m \gt 1 \)?
La envolvente se da vuelta y el detector de envolvente distorsiona. El espectro, en cambio, sigue bien.
¿Por qué se transmitía la portadora si desperdicia potencia?
Para que el receptor pudiera ser un diodo con un capacitor. Con millones de receptores, conviene gastar en el transmisor.
¿Qué relación tiene el muestreo con este teorema?
Muestrear es multiplicar por un tren de impulsos, y eso convoluciona el espectro con otro tren: de ahí las réplicas.
08Para ampliar
- Leon W. Couch. Sistemas de comunicación digitales y analógicos. 7.ª ed., Pearson, 2008. AM, DSB y SSB con sus espectros, eficiencias y circuitos de demodulación.
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 8, con la modulación tratada como propiedad de la transformada.
- Herbert L. Krauss, Charles W. Bostian y Frederick H. Raab. Estado sólido en ingeniería de radiocomunicación. Limusa, 1984. Los circuitos moduladores y demoduladores reales, con sus limitaciones.