Aliasing
Una frecuencia alta que se disfraza de una baja. El problema no es que se distorsione: es que después no hay manera de darse cuenta, porque las muestras son exactamente las mismas.
01Una frecuencia que se disfraza de otra
Cuando la frecuencia de muestreo no alcanza, las réplicas del espectro se meten en la banda útil y una señal alta aparece en el lugar de una baja. Se la llama alias, y la frecuencia con la que se presenta sale de una cuenta simple:
El problema no es que la señal se distorsione: es que no hay manera de darse cuenta después. Una vez muestreada, la señal alias es indistinguible de una señal real de esa frecuencia baja. No existe procesamiento posterior que la separe, porque las muestras son exactamente las mismas.
Una senoidal muestreada a \( f_s \) fija. Subí su frecuencia más allá de \( f_s/2 \) y mirá cómo las mismas muestras se explican con otra senoidal mucho más lenta.
02Dónde se lo ve sin buscarlo
| Situación | Qué se observa | Por qué |
|---|---|---|
| Las ruedas de un carro en el cine | Giran al revés o quedan quietas | 24 cuadros por segundo muestrean el giro de los rayos |
| Una camisa a rayas en televisión | Aparecen bandas de colores que no existen | La trama espacial supera la resolución del sensor |
| Un osciloscopio con base de tiempo lenta | Una senoidal rápida se ve lenta y con amplitud que late | La velocidad de muestreo cayó por debajo del doble |
| Una imagen achicada sin filtrar | Texturas con patrones raros, el efecto moiré | Diezmar sin filtro antialias previo |
| Luz estroboscópica sobre un motor | El eje parece detenido | Es aliasing aprovechado a propósito |
La última fila conviene retenerla: el aliasing no es sólo un defecto. Un estroboscopio y un osciloscopio de muestreo secuencial lo usan a propósito para observar señales mucho más rápidas que su electrónica, muestreando a una frecuencia apenas distinta de la de la señal para que el alias caiga en una banda cómoda de medir.
03El filtro antialias no es opcional
El teorema del muestreo pide que la señal sea de banda limitada, y ninguna señal real lo es: siempre hay ruido y componentes altas. Por eso antes del conversor va un pasabajos analógico, y tiene que ser analógico: una vez muestreado, el daño ya está hecho.
Ahí aparece la tensión de siempre: cuanto más cerca esté la banda útil de \( f_s/2 \), más abrupto tiene que ser el filtro, y un filtro abrupto es de orden alto, caro y con retardo de grupo feo.
La salida elegante es muestrear mucho más rápido de lo necesario. Si la banda útil es de 20 kHz y se muestrea a 5 MHz, lo que se pliega sobre la banda está a más de 4,9 MHz, y un filtro analógico de primer orden ya lo atenúa de sobra. Después se diezma digitalmente, donde el filtro sí puede ser abrupto y de fase lineal sin costo analógico.
Ésa es la idea de los conversores sigma-delta, que muestrean a decenas de megahertz con un solo bit y hacen todo el trabajo fino en el dominio digital. Por eso un códec de audio moderno necesita apenas un RC a la entrada donde los conversores de los años ochenta llevaban filtros de octavo orden.
04En el laboratorio
Con \( f_s = 8 \) kHz, calcular con qué frecuencia aparecen señales de 3, 5, 9, 11 y 16 kHz. Verificar que 3 y 5 kHz caen en el mismo lugar, y explicar por qué no se pueden distinguir.
Muestrear con un microcontrolador a 1 kS/s una senoidal de 1,1 kHz y graficar las muestras. Comprobar que se ve una senoidal de 100 Hz, y que subiendo a 1,2 kHz se ve una de 200 Hz.
Para un conversor de 12 bits con banda útil de 10 kHz y \( f_s = 48 \) kHz, determinar en qué frecuencia empieza el plegado y cuánta atenuación hace falta ahí. Elegir el orden del filtro antialias.
05Errores frecuentes
- Creer que se puede filtrar después. Una vez muestreado, el alias es indistinguible de una señal legítima.
- Poner el filtro antialias en el dominio digital. Tiene que ser analógico, antes del conversor.
- Olvidar el ruido de banda ancha. Aunque la señal útil sea lenta, el ruido se pliega igual.
- Confiar en que el conversor «filtra algo». Un sample-and-hold no es un filtro antialias.
- Diezmar sin filtrar. Bajar la frecuencia de muestreo también genera aliasing, y ahí sí el filtro puede ser digital.
06Autoevaluación
Con \( f_s = 8 \) kHz, ¿cómo aparece una señal de 9 kHz?
Como 1 kHz: \( |9 - 8| = 1 \).
¿Y una de 11 kHz?
Como 3 kHz: \( |11 - 8| = 3 \). Se confunde con una señal real de 3 kHz.
¿Por qué el filtro antialias tiene que ser analógico?
Porque el plegado ocurre en el momento de muestrear. Después ya no hay nada que separar.
¿Por qué las ruedas del carro giran al revés en el cine?
Porque 24 cuadros por segundo muestrean el giro de los rayos, y el alias puede quedar negativo: aparenta girar hacia atrás.
¿Qué ventaja da el sobremuestreo?
Aleja la banda de plegado, así el filtro analógico puede ser mucho más simple y el trabajo fino se hace en digital.
¿El aliasing sirve para algo?
Sí: el estroboscopio y el osciloscopio de muestreo secuencial lo usan a propósito para observar señales más rápidas que su propia electrónica.
07Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El aliasing deducido del solapamiento de réplicas, con los ejemplos gráficos.
- Walt Kester (ed.). Data Conversion Handbook. Analog Devices / Newnes, 2005. Diseño real del filtro antialias, sobremuestreo y arquitecturas sigma-delta.
- Richard G. Lyons. Understanding Digital Signal Processing. 3.ª ed., Prentice Hall, 2010. El plegado explicado con figuras que se entienden a la primera, y el muestreo pasabanda.