Teorema del muestreo
Quedarse con el valor cada T segundos y tirar el resto parece perder información para siempre. Y sin embargo, si la señal tiene banda limitada y se muestrea rápido, las muestras contienen todo.
01El enunciado, y por qué no es obvio
Muestrear es quedarse con el valor de una señal cada \( T \) segundos y tirar todo lo que pasaba en el medio. Parece que se pierde información para siempre, y sin embargo:
Ese es el teorema del muestreo, y es la razón de que exista el audio digital, la telefonía celular y cualquier instrumento con conversor A/D. La frecuencia \( 2f_{\text{máx}} \) se llama frecuencia de Nyquist, y el enunciado se atribuye a Nyquist, Shannon, Kotelnikov y Whittaker según el país donde se lo estudie.
02Qué le hace el muestreo al espectro
Muestrear idealmente es multiplicar la señal por un tren de impulsos separados \( T \). Y por el teorema de la modulación, multiplicar en el tiempo es convolucionar en frecuencia. Como la transformada de un tren de impulsos es otro tren de impulsos, el resultado es:
Ahí está todo el teorema, y se ve mejor de lo que se demuestra. Si las réplicas no se tocan, la original sigue intacta en el medio y alcanza con un filtro pasabajos para recuperarla. Si se solapan, se suman y ya no hay filtro que las separe: eso es el aliasing.
Arriba, el espectro de la señal y sus réplicas cada \( f_s \). Abajo, la señal original y la reconstruida a partir de las muestras. Bajá la frecuencia de muestreo hasta que las réplicas se toquen.
03Cómo se recupera la señal
Si las réplicas no se solapan, se filtra con un pasabajos ideal de corte \( f_s/2 \) y queda la original. En el tiempo, ese filtro es un sinc, y la reconstrucción tiene la forma de una interpolación:
Esa fórmula es exacta pero irrealizable: el sinc se extiende hasta el infinito en los dos sentidos, y ya se vio que ese filtro no es causal ni BIBO estable. En la práctica un conversor D/A hace otra cosa: mantiene cada muestra hasta la siguiente.
Mantener el valor entre muestras equivale a convolucionar con un pulso rectangular de ancho \( T \), cuyo espectro es un sinc. Eso atenúa las frecuencias altas de la banda útil: en el borde, \( f_s/2 \), la caída vale \( 2/\pi \), o sea −3,92 dB. Por eso los conversores de audio llevan un filtro de compensación —que en las hojas de datos figura como sinc correction— y por eso conviene sobremuestrear: si la banda útil ocupa sólo una fracción de \( f_s/2 \), la caída del sinc en esa zona es despreciable.
04Los números de la práctica
| Aplicación | Banda útil | \( f_s \) | Margen |
|---|---|---|---|
| Telefonía | 3,4 kHz | 8 kHz | 1,18 veces Nyquist |
| Disco compacto | 20 kHz | 44,1 kHz | 1,10 veces |
| Audio profesional | 20 kHz | 48 o 96 kHz | 1,2 o 2,4 veces |
| Osciloscopio digital | 100 MHz | 1 GS/s o más | 5 veces o más |
Ninguna trabaja justo en el límite, y por dos razones. La primera es que el filtro antialias real no corta vertical: necesita una banda de transición entre la frecuencia útil y \( f_s/2 \), y esa banda es el margen. La segunda es la fila del osciloscopio: para ver una forma de onda no alcanza con poder reconstruirla en teoría; hacen falta muchas muestras por período para que el dibujo sea reconocible.
La telefonía muestra el caso más ajustado: con 8 kHz de muestreo y 3,4 kHz de banda, quedan apenas 600 Hz para que el filtro pase de dejar pasar a atenuar del todo. Por eso los filtros de los canales telefónicos son de orden alto.
05En el laboratorio
Muestrear con un conversor A/D una senoidal de 1 kHz a 10, 4, 2,5 y 1,8 kS/s, reconstruir con el D/A y observar la salida. Identificar a partir de qué frecuencia deja de parecerse a la original.
Barrer la frecuencia de una senoidal entre continua y \( f_s/2 \) manteniendo la amplitud de entrada, y medir la amplitud de la salida del D/A. Comparar la curva medida con \( \operatorname{sinc}(f/f_s) \) y verificar los −3,92 dB en el borde.
Diseñar el filtro antialias para un sistema con banda útil de 4 kHz y \( f_s = 10 \) kHz. Determinar qué orden hace falta para atenuar 60 dB en 5 kHz partiendo de 0 dB en 4 kHz.
06Errores frecuentes
- Usar \( f_s = 2f_{\text{máx}} \) exacto. El teorema pide mayor que el doble; en el límite justo una senoidal puede caer siempre en sus cruces por cero.
- Olvidar el filtro antialias. El teorema exige que la señal sea de banda limitada, y eso no pasa solo: hay que forzarlo.
- Confundir la frecuencia de Nyquist con \( f_s/2 \). La de Nyquist es \( 2f_{\text{máx}} \); \( f_s/2 \) es el límite de la banda representable.
- Creer que el D/A reconstruye exactamente. El escalonado atenúa; hay que compensarlo.
- Muestrear justo al doble porque «el teorema lo permite». Sin margen, el filtro antialias es irrealizable.
07Autoevaluación
¿Qué le hace el muestreo al espectro?
Lo repite cada \( f_s \). Si las réplicas no se solapan, la original sigue entera.
¿Qué condición pide el teorema?
Que la señal sea de banda limitada y que \( f_s \) sea mayor que el doble de su frecuencia máxima.
¿Cuál es el interpolador exacto?
El sinc: cada muestra se reemplaza por un sinc centrado en ella y se suman todos.
¿Por qué no se usa el sinc en la práctica?
Porque se extiende infinitamente hacia los dos lados: no es causal ni BIBO estable.
¿Cuánto atenúa el escalonado del D/A en \( f_s/2 \)?
\( 2/\pi \), o sea −3,92 dB. Por eso los conversores llevan compensación de sinc.
¿Por qué el CD usa 44,1 kHz y no 40?
Para dejar margen al filtro antialias entre los 20 kHz útiles y los 22,05 kHz de \( f_s/2 \).
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 7 completo: muestreo, réplicas, reconstrucción y el retenedor de orden cero.
- Walt Kester (ed.). Data Conversion Handbook. Analog Devices / Newnes, 2005. El muestreo desde el lado del conversor real: jitter, apertura y compensación de sinc.
- John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis. Tratamiento digital de señales. 4.ª ed., Pearson, 2007. Muestreo y reconstrucción con el detalle matemático y los criterios de diseño del filtro.