Filtros analógicos activos y pasivos
Para rechazar 40 dB a dos veces la frecuencia de corte, un Butterworth necesita siete polos y un Chebyshev de 0,5 dB, cinco. La ondulación en la banda de paso compra pendiente.
01La plantilla de un filtro
Un filtro se especifica con una plantilla: en la banda de paso, hasta \( \omega_p \), la atenuación no puede superar \( A_p \); en la banda de rechazo, desde \( \omega_s \), tiene que ser al menos \( A_s \). Entre las dos queda la banda de transición. Cuanto más angosta la transición y más exigentes \( A_p \) y \( A_s \), más orden hace falta: más polos, más componentes. Los filtros pasaaltos, pasabanda y rechazabanda se diseñan a partir de un pasabajos normalizado con una transformación de frecuencia, así que todo empieza por el pasabajos. Los filtros básicos se presentan en la tecnicatura, en filtros.
02Las aproximaciones
El filtro ideal —ganancia 1 hasta el corte y 0 después— no se puede construir. Una aproximación es una función de transferencia realizable que se le acerca de una manera determinada, y cada una elige qué sacrificar:
| Aproximación | Banda de paso | Transición | Respuesta al escalón |
|---|---|---|---|
| Butterworth | Máximamente plana | Moderada | Sobrepico moderado |
| Chebyshev | Con ondulación de \( A_p \) | Más abrupta para el mismo orden | Sobrepico y oscilación mayores |
| Chebyshev inverso | Plana | Abrupta, con ceros en la banda de rechazo | Moderada |
| Elíptica (Cauer) | Con ondulación | La más abrupta posible | La peor |
| Bessel | Cae suave | Muy lenta | Casi sin sobrepico: retardo de grupo constante |
El orden mínimo sale de la plantilla:
03Filtros pasivos en escalera
El filtro pasivo clásico es una escalera LC entre la resistencia del generador y la de la carga, con inductores en serie y capacitores en derivación: la forma de Cauer de funciones de red. Sus valores están tabulados en forma normalizada, para 1 Ω y 1 rad/s; para Butterworth son \( g_k = 2\sin\frac{(2k - 1)\pi}{2n} \): un filtro de orden 3 tiene 1 H, 2 F y 1 H. Se desnormalizan dividiendo las inductancias y capacidades por \( \omega_c \) y escalando por la impedancia. Las escaleras doblemente terminadas tienen una ventaja notable: su respuesta es muy poco sensible a las tolerancias de los componentes.
04Filtros activos
A frecuencias bajas los inductores son grandes, caros y poco ideales. Un filtro activo reemplaza la escalera por una cascada de secciones de segundo orden con amplificadores operacionales, cada una con un par de polos. La más usada es la de Sallen-Key: con ganancia unitaria y resistores iguales \( R \), los capacitores fijan la frecuencia y el factor de calidad de la sección:
Las secciones se ordenan con Q creciente, para que las de Q alto no saturen con señales que la sección siguiente iba a atenuar. El amplificador operacional tiene que tener un producto ganancia por ancho de banda bastante mayor que \( Q \cdot f_0 \) de cada sección; si no, la respuesta se deforma.
La respuesta de un pasabajos normalizado del tipo y orden elegidos, con la plantilla de la especificación sombreada. Abajo, el orden mínimo para cumplirla y las secciones Sallen-Key de ganancia unitaria para un corte de 1 kHz con resistores de 10 kΩ.
05Dónde aparece en la electrónica
| Aplicación | Filtro típico |
|---|---|
| Antialias antes de un conversor | Butterworth o Bessel activo de orden 2 a 8 |
| Etapa de salida de un transmisor | Escalera LC Chebyshev o elíptica, para las armónicas |
| Medición de pulsos o audio de alta calidad | Bessel, por su respuesta al escalón sin sobrepico |
| Cruce de parlantes | Linkwitz-Riley: dos Butterworth en cascada |
06En el laboratorio
Armar las dos secciones Sallen-Key del laboratorio para 1 kHz, medir la respuesta en frecuencia y compararla con la teórica.
Comparar la respuesta a una onda cuadrada de un Butterworth y un Chebyshev de 1 dB del mismo orden.
Desnormalizar un Butterworth LC de orden 5 para 10 MHz y 50 Ω, armarlo y medirlo con un analizador de redes.
07Errores frecuentes
- Confundir las normalizaciones. Butterworth se normaliza a −3 dB; Chebyshev, al borde de la ondulación.
- Usar un operacional lento en una sección de Q alto. El pico se corre y se agranda.
- Ordenar mal las secciones. Las de Q alto al final.
- Elegir por la respuesta en frecuencia solamente. Si importa la forma de onda, hay que mirar el retardo de grupo.
08Autoevaluación
¿Cuánto atenúa un Butterworth de orden 4 a dos veces su frecuencia de corte?
\( 10\log(1 + 2^8) \approx 24{,}1 \) dB.
¿Qué Q tienen las secciones de un Butterworth de orden 4?
0,541 y 1,307, las dos con \( \omega_0 = 1 \).
¿Qué capacitores lleva una Sallen-Key de ganancia unitaria con Q = 0,707, 1 kHz y 10 kΩ?
\( C_1 = 2 \cdot 0{,}707 / (2\pi \cdot 1000 \cdot 10^4) \approx 22{,}5 \) nF y \( C_2 \approx 11{,}3 \) nF.
¿Por qué un Chebyshev necesita menos orden que un Butterworth?
Porque acepta ondulación en la banda de paso y a cambio cae más rápido en la transición.
09Para ampliar
- Arthur B. Williams y Fred J. Taylor. Electronic Filter Design Handbook. 4.ª ed., McGraw-Hill, 2006. Las tablas de polos, secciones y escaleras normalizadas de todas las aproximaciones.
- Rolf Schaumann, Haiqiao Xiao y Mac E. Van Valkenburg. Design of Analog Filters. 2.ª ed., Oxford University Press, 2009. El diseño de filtros activos y pasivos con su teoría completa.
- Texas Instruments. Op Amps for Everyone, capítulo de filtros activos. Texas Instruments, varias ediciones. El diseño práctico de Sallen-Key y de realimentación múltiple, con tablas de coeficientes.