Funciones de red: análisis y síntesis
La misma impedancia se puede armar con tanques LC en serie o con una escalera de inductores y capacitores. Los dos circuitos no se parecen en nada y son indistinguibles desde sus terminales.
01Funciones de red
Una función de red es el cociente entre dos magnitudes transformadas de un circuito con condiciones iniciales nulas. Si las dos se toman en el mismo par de terminales, es una función de punto impulsor: una impedancia \( Z(s) \) o una admitancia \( Y(s) \). Si se toman en puntos distintos, es una función de transferencia: una ganancia de tensión, una transimpedancia. Para circuitos de componentes concentrados, cualquiera de ellas es un cociente de polinomios en \( s \) con coeficientes reales, y queda determinada, salvo una constante, por sus polos y ceros.
El análisis parte del circuito y obtiene la función; la síntesis hace el camino inverso: dada la función que se quiere, encuentra un circuito que la realice. Es la base del diseño de filtros.
02Qué funciones puede tener un circuito pasivo
No cualquier cociente de polinomios es la impedancia de un circuito de resistores, capacitores e inductores. Tiene que ser una función real positiva: real para \( s \) real, y con parte real no negativa en todo el semiplano derecho. Eso tiene consecuencias que se pueden verificar a simple vista:
- Los polos y los ceros están en el semiplano izquierdo o sobre el eje imaginario.
- Los que están sobre el eje imaginario son simples y tienen residuos reales y positivos.
- Los grados del numerador y el denominador difieren a lo sumo en uno.
- En el eje \( j\omega \), la parte real (la resistencia) nunca es negativa: un circuito pasivo no entrega energía.
Para una función de transferencia la exigencia es menor: basta con que sea estable, con los polos en el semiplano izquierdo; los ceros pueden estar en cualquier lugar.
03Redes LC: el teorema de la reactancia de Foster
Una red de solo inductores y capacitores no disipa energía, así que su impedancia es imaginaria pura en el eje \( j\omega \): \( Z(j\omega) = jX(\omega) \). Foster demostró que la reactancia de cualquier red LC crece siempre con la frecuencia, y que por lo tanto sus polos y ceros se alternan sobre el eje imaginario, empezando y terminando en cero o en infinito:
04Cuatro formas canónicas
La misma impedancia LC se puede realizar de cuatro maneras con la cantidad mínima de elementos:
| Forma | Método | Circuito |
|---|---|---|
| Foster I | Fracciones parciales de \( Z(s) \) | Serie de un inductor, un capacitor y circuitos tanque LC paralelos, uno por cada polo finito |
| Foster II | Fracciones parciales de \( Y(s) \) | Paralelo de un inductor, un capacitor y ramas LC serie |
| Cauer I | Fracción continua quitando polos en infinito | Escalera de inductores en serie y capacitores en derivación |
| Cauer II | Fracción continua quitando polos en el origen | Escalera de capacitores en serie e inductores en derivación |
La fracción continua de Cauer se obtiene dividiendo: el cociente es un inductor en serie; con el resto se invierte, se divide otra vez, y el nuevo cociente es un capacitor en derivación; y así hasta que no queda resto:
Elegís una impedancia LC (con valores normalizados: henry, farad y rad/s). El gráfico muestra su reactancia en el eje \( j\omega \), con los ceros (puntos) y los polos (líneas de trazos); abajo, los elementos de las formas de Foster I y de Cauer I, que dan la misma impedancia.
05Más allá de las redes LC
Las redes RC tienen propiedades análogas, con polos y ceros alternados sobre el eje real negativo, y se sintetizan con los mismos métodos. Las funciones de transferencia se realizan con escaleras doblemente terminadas, entre la resistencia del generador y la de la carga, que es exactamente lo que hacen los filtros pasivos de filtros analógicos. Hoy la síntesis la hacen programas de diseño, pero sus resultados solo se entienden con estos métodos.
06En el laboratorio
Medir con un analizador de impedancia la reactancia de una red LC de cuatro elementos entre 1 kHz y 100 kHz y ubicar sus polos y ceros. Verificar que se alternan.
Armar las formas de Foster I y Cauer I de una misma impedancia desnormalizada a 10 kHz y 1 kΩ, y comparar sus mediciones.
Sintetizar en forma de Cauer II la impedancia \( (s^2 + 1)(s^2 + 3)/(s(s^2 + 2)) \) y verificar el resultado.
07Errores frecuentes
- Intentar sintetizar una función que no es real positiva. No existe el circuito pasivo.
- Confundir Cauer I con Cauer II. El primero quita polos en infinito; el segundo, en el origen.
- Olvidar desnormalizar. Los valores de la síntesis están en henry y farad para 1 rad/s y 1 Ω.
- Esperar que la reactancia de una red LC baje en algún tramo. Por Foster, siempre crece.
08Autoevaluación
¿Puede ser la impedancia de una red LC la función (s² + 2)/(s(s² + 1))?
No: el cero está en √2 y el polo en 1, y con el polo en el origen la secuencia sería polo, polo, cero. No se alternan.
¿Cuáles son los elementos de Foster I de Z(s) = s + 1/s?
Un inductor de 1 H en serie con un capacitor de 1 F.
¿Cómo se desnormaliza un inductor de 1 H para 1 kΩ y 10 kHz?
\( L = 1 \cdot 1000 / (2\pi \cdot 10^4) \approx 15{,}9 \) mH.
¿Cuántos elementos tiene la realización mínima de una impedancia LC de grado 4?
Cuatro, igual al grado mayor entre numerador y denominador.
09Para ampliar
- Mac E. Van Valkenburg. Introduction to Modern Network Synthesis. Wiley, 1960. Las funciones reales positivas y la síntesis de Foster y Cauer, explicadas con claridad.
- Gabor C. Temes y Jack W. LaPatra. Introduction to Circuit Synthesis and Design. McGraw-Hill, 1977. La síntesis aplicada al diseño de filtros pasivos y activos.
- Ernst A. Guillemin. Synthesis of Passive Networks. Wiley, 1957. El tratado clásico de la síntesis de redes.