El circuito en el dominio transformado
En el dominio de Laplace, un capacitor cargado es una impedancia 1/sC en serie con una fuente v(0)/s. Las condiciones iniciales dejan de ser un problema aparte y pasan a ser parte del circuito.
01Por qué transformar
Un circuito con inductores y capacitores se describe con ecuaciones diferenciales, y resolverlas en el tiempo exige plantear la solución homogénea, la particular y ajustar constantes con las condiciones iniciales. La transformada de Laplace convierte las derivadas en productos por \( s \) y las ecuaciones diferenciales en algebraicas. El circuito entero se puede transformar elemento por elemento y resolver con las mismas herramientas que un circuito resistivo: mallas, nodos, Thévenin. En Teoría de los Circuitos I se trabajó en el plano s en respuesta transitoria; acá se completa el método.
La base es que el circuito sea lineal e invariante en el tiempo: sus componentes no cambian de valor y la respuesta a una suma de excitaciones es la suma de las respuestas. Así lo pide la teoría de sistemas LTI.
02Los elementos transformados
| Elemento | En el tiempo | En el dominio s |
|---|---|---|
| Resistor | \( v = R\,i \) | \( V = R\,I \) |
| Inductor | \( v = L\, di/dt \) | \( V = sL\,I - L\,i(0) \): impedancia \( sL \) en serie con una fuente \( L\,i(0) \) |
| Capacitor | \( i = C\, dv/dt \) | \( V = I/(sC) + v(0)/s \): impedancia \( 1/sC \) en serie con una fuente \( v(0)/s \) |
La energía almacenada al comienzo aparece como fuentes adicionales, y el circuito transformado se resuelve de una sola vez con todas las fuentes. La respuesta completa se descompone en dos partes que se pueden calcular por separado y sumar:
03Los polos deciden la forma
Cada polo \( p \) de la respuesta aporta un término \( K e^{pt} \). Un polo real negativo da una exponencial que decae; un par complejo conjugado \( -\alpha \pm j\omega_d \), una oscilación amortiguada; un polo en el semiplano derecho, una respuesta que crece: un circuito inestable. En el RLC serie:
Un escalón de 5 V en \( t = 0 \) sobre un RLC serie con \( L = 10 \) mH y \( C = 1\ \mu \)F (resonancia en 1,59 kHz; amortiguamiento crítico con 200 Ω). El capacitor puede empezar cargado y el inductor con corriente. Arriba, la tensión en el capacitor; a la derecha, los polos en el plano s.
04Función de transferencia y respuesta en frecuencia
Con condiciones iniciales nulas, el cociente entre la salida y la entrada transformadas es la función de transferencia \( H(s) \). Evaluada sobre el eje imaginario, \( s = j\omega \), da la respuesta en frecuencia; su transformada inversa, la respuesta al impulso. Una sola función describe entonces el comportamiento transitorio y el de régimen: los mismos polos que hacen oscilar la respuesta al escalón producen el pico de resonancia en el diagrama de Bode.
05Dónde aparece en la electrónica
| Circuito | Qué se analiza en el dominio s |
|---|---|
| Filtro LC de salida de una fuente conmutada | El sobrepico de tensión ante un escalón de carga |
| Circuito de encendido de un motor | La corriente de arranque con el capacitor descargado |
| Snubber de un transistor de conmutación | El amortiguamiento de la oscilación entre la inductancia parásita y la capacidad del transistor |
| Lazo de control | Los polos a lazo cerrado y la estabilidad |
06En el laboratorio
Armar un RLC serie con 10 mH y 1 µF, excitarlo con una cuadrada de baja frecuencia y observar la tensión en el capacitor con 40 Ω, 200 Ω y 600 Ω. Medir el sobrepico y la frecuencia de oscilación.
Cargar el capacitor a 3 V con una fuente y un interruptor, conmutar al circuito y comparar la respuesta con la del laboratorio.
Medir la respuesta en frecuencia del mismo circuito y relacionar el pico de resonancia con el sobrepico de la respuesta al escalón.
07Errores frecuentes
- Olvidar las fuentes de condiciones iniciales. La transformada de la derivada trae el valor inicial.
- Equivocar el signo de la fuente del inductor. Hay que respetar el sentido de la corriente inicial.
- Buscar polos en el numerador. Los polos son las raíces del denominador; las del numerador son ceros.
- Aplicar el teorema del valor final a un sistema inestable. Solo vale si todos los polos, salvo quizás uno en el origen, están en el semiplano izquierdo.
08Autoevaluación
¿Qué resistencia da amortiguamiento crítico con 10 mH y 1 µF?
\( 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10^4} = 200\ \Omega \).
¿Cómo se representa en s un capacitor cargado a 3 V?
Una impedancia \( 1/sC \) en serie con una fuente de \( 3/s \).
¿Qué sobrepico tiene la respuesta al escalón con ζ = 0,2?
\( e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 0{,}53 \): un 53 %.
¿Qué forma tiene la respuesta si los polos son −1000 y −4000 s⁻¹?
La suma de dos exponenciales decrecientes, sin oscilación: sobreamortiguada.
09Para ampliar
- Mac E. Van Valkenburg. Network Analysis. 3.ª ed., Prentice Hall, 1974. El clásico del análisis de redes con la transformada de Laplace, las funciones de red y los polos.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2018. El circuito transformado paso a paso, con muchos ejemplos resueltos.
- William H. Hayt, Jack E. Kemmerly y Steven M. Durbin. Análisis de circuitos en ingeniería. 8.ª ed., McGraw-Hill, 2012. La respuesta completa, la frecuencia compleja y la función de transferencia.