Respuesta transitoria y residuos
Antes de hacer una sola cuenta, la ubicación de los polos ya dice si un circuito va a oscilar, cuánto va a tardar en asentarse y si va a pasarse de largo. Los residuos solo ponen los números.
01El circuito entero pasado a \( s \)
El régimen permanente se resolvía con fasores. El transitorio —lo que pasa desde que se cierra una llave hasta que el circuito se asienta— se resuelve con la transformada de Laplace, que hace con las derivadas lo mismo que los fasores pero sin exigir que la señal sea senoidal ni que haya pasado mucho tiempo. Además incorpora de manera natural las condiciones iniciales: la carga que ya tenía un capacitor o la corriente que ya circulaba por un inductor.
| Elemento | En el tiempo | En \( s \), con condición inicial |
|---|---|---|
| Resistor | \( v = Ri \) | \( V = RI \) |
| Inductor | \( v = L\,di/dt \) | Impedancia \( sL \) en serie con una fuente \( L\,i(0) \) |
| Capacitor | \( i = C\,dv/dt \) | Impedancia \( 1/sC \) en serie con una fuente \( v(0)/s \) |
Con ese reemplazo, el circuito se resuelve con las mismas reglas de siempre —mallas, nodos, divisores— y la respuesta sale como un cociente de polinomios en \( s \).
02Residuos: de \( Y(s) \) de vuelta al tiempo
Para volver al tiempo, el cociente se descompone en fracciones simples, una por polo. El coeficiente de cada fracción es el residuo de ese polo, y se calcula sin resolver ningún sistema de ecuaciones:
La consecuencia es poderosa: la forma del transitorio queda decidida por la ubicación de los polos, antes de hacer ninguna cuenta. Los residuos solo ajustan las amplitudes.
| Polos | Aportan |
|---|---|
| Reales negativos | Exponenciales que decaen, sin oscilar |
| Complejos conjugados con parte real negativa | Una oscilación que se apaga: el «ringing» |
| Sobre el eje imaginario | Una oscilación que no se apaga nunca |
| Con parte real positiva | Algo que crece sin límite: inestabilidad |
03El RLC serie ante un escalón
El caso que resume todo: un RLC serie que se conecta a una fuente continua \( V \). La tensión del capacitor en \( s \) tiene tres polos: uno en el origen, que da el valor final, y dos que dependen de los componentes.
RLC serie con \( L = 1 \) mH y \( C = 100 \) nF, conectado a 5 V. Movés \( R \): a la izquierda, los dos polos en el plano \( s \); a la derecha, la tensión del capacitor que resulta de sumar sus residuos.
04Dónde aparece en la electrónica
| Caso | El transitorio de segundo orden |
|---|---|
| Punta de osciloscopio mal compensada | El «ringing» sobre los flancos de una cuadrada es la inductancia del cable de masa resonando con la capacidad de entrada |
| Líneas de datos rápidas en un impreso | La oscilación después de cada flanco puede cruzar el umbral lógico y producir un falso bit |
| Filtro LC de entrada de una fuente conmutada | Al enchufarla, el capacitor puede sobrepasar la tensión de entrada si el filtro está poco amortiguado |
| Amplificador realimentado | Su respuesta al escalón revela, por el sobrepico, cuán cerca está de oscilar |
05En el laboratorio
Armar el RLC del laboratorio con R = 100 Ω y excitarlo con una onda cuadrada de baja frecuencia. Medir el sobrepico de la tensión del capacitor y compararlo con el 16,3 % que predice \( \zeta = 0{,}5 \).
Con el laboratorio de esta página, ubicar el valor de \( R \) en que los dos polos se juntan. Verificar que coincide con \( R = 2\sqrt{L/C} \).
Calcular los tres residuos de \( V_C(s) \) para \( R = 300 \) Ω y escribir \( v_C(t) \) como suma de exponenciales. Comparar con el panel de datos del laboratorio.
06Errores frecuentes
- Olvidar las condiciones iniciales. Un capacitor cargado o un inductor con corriente son fuentes en el circuito transformado.
- Buscar la forma del transitorio en los residuos. La forma la deciden los polos; los residuos solo fijan las amplitudes.
- Tratar un polo doble como si fueran dos simples. Un polo doble aporta \( t\,e^{pt} \), no dos exponenciales iguales.
- Confundir \( \omega_n \) con la frecuencia a la que oscila. La oscilación amortiguada va a \( \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} \), algo menor.
- Creer que más resistencia siempre da una respuesta más rápida. Pasado el amortiguamiento crítico, la respuesta se vuelve más lenta.
07Autoevaluación
¿Qué representa un capacitor cargado en el circuito transformado?
Una impedancia \( 1/sC \) en serie con una fuente \( v(0)/s \).
¿Cómo se calcula el residuo de un polo simple?
\( K_k = \lim_{s\to p_k}(s-p_k)Y(s) \).
¿Qué forma de transitorio dan dos polos complejos con parte real negativa?
Una oscilación que se apaga exponencialmente.
¿Cuánto vale el sobrepico con \( \zeta = 0{,}5 \)?
16,3 % del valor final.
¿Con qué resistencia es crítico el amortiguamiento de un RLC serie de 1 mH y 100 nF?
\( R = 2\sqrt{L/C} = 200 \) Ω.
08Para ampliar
- Mac E. Van Valkenburg. Análisis de redes. Limusa. La transformada de Laplace aplicada a redes, con el cálculo de residuos y la lectura de polos que usa esta página.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. Los capítulos de circuitos de segundo orden y de Laplace, con muchos ejemplos de condiciones iniciales.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El sistema de segundo orden, el sobrepico y el tiempo de establecimiento, desde el punto de vista del control.