Resolución sistemática de circuitos
Basta una resistencia en diagonal para que un circuito deje de reducirse en serie y paralelo. El método de nodos lo resuelve igual, y es exactamente lo que hace por dentro cualquier simulador de circuitos.
01Cuando serie y paralelo no alcanzan
Mientras un circuito se deja reducir combinando resistencias en serie y en paralelo, alcanza con eso. Pero basta un elemento que conecte dos ramas «en diagonal» para que no quede ningún par de resistencias estrictamente en serie ni en paralelo. El ejemplo clásico es el puente de Wheatstone con un detector entre sus dos puntos medios: cuatro nodos, seis ramas y ninguna simplificación posible. Para esos casos hacen falta métodos sistemáticos, que plantean directamente un sistema de ecuaciones lineales y funcionan siempre, sea cual sea la topología.
Hay dos, uno por cada ley de Kirchhoff: el análisis de nodos, que usa la ley de corrientes, y el de mallas, que usa la de tensiones.
02Análisis de nodos
Se elige un nodo de referencia —la masa— y las incógnitas son las tensiones de los \( N-1 \) nodos restantes. En cada uno se escribe que la suma de corrientes que salen es cero, con cada corriente expresada como diferencia de tensiones sobre una resistencia. El resultado se ordena solo en forma matricial:
La matriz \( \mathbf{G} \) de un circuito de resistencias es simétrica, y esa regularidad es la que permite escribirla sin plantear una sola ecuación a mano: se lee del esquema.
03Análisis de mallas
El método dual: en un circuito plano se asigna una corriente a cada malla —cada «ventana» del dibujo— y en cada una se escribe que la suma de tensiones alrededor es cero.
| Nodos | Mallas | |
|---|---|---|
| Ley que usa | Kirchhoff de corrientes | Kirchhoff de tensiones |
| Incógnitas | \( N-1 \) tensiones de nodo | \( B-N+1 \) corrientes de malla |
| En el puente de Wheatstone (N = 4, B = 6) | 2 ecuaciones (la fuente fija un nodo) | 3 ecuaciones |
| Fuentes que complican | Fuentes de tensión flotantes: supernodo | Fuentes de corriente compartidas: supermalla |
| Sirve para | Cualquier circuito | Solo circuitos planos |
04Un puente de Wheatstone con una Pt100
La Pt100 es un sensor de temperatura de platino: vale 100 Ω a 0 °C y, según la norma IEC 60751, 138,51 Ω a 100 °C. Puesta en un puente con otras tres resistencias de 100 Ω, a 0 °C el puente está equilibrado y el detector no marca nada; cualquier cambio de temperatura lo desequilibra. Con la fuente fijando el nodo superior y la masa el inferior, quedan dos incógnitas: las tensiones de los dos puntos medios.
R₁ = R₂ = R₃ = 100 Ω, R₄ es la Pt100 y la fuente es de 5 V. Movés la temperatura y elegís el detector; el panel arma la matriz de conductancias, la resuelve y verifica la ley de corrientes en cada nodo.
05Dónde aparece en la electrónica
Todo simulador de circuitos —SPICE y sus descendientes, LTspice, ngspice, el de cualquier programa de diseño— resuelve exactamente este sistema. Usa una variante llamada análisis nodal modificado, que agrega como incógnitas las corrientes de las fuentes de tensión para no tener que pensar en supernodos, arma la matriz por inspección leyendo la lista de componentes y la resuelve. Con componentes no lineales repite ese paso muchas veces, linealizando alrededor de cada punto; en el dominio de la frecuencia lo hace con conductancias complejas.
| Caso | Por qué se resuelve con nodos |
|---|---|
| Puentes de sensores: Pt100, galgas extensiométricas, celdas de carga | El detector entre los puntos medios impide la reducción serie-paralelo |
| Redes de polarización de transistores | Varias fuentes y un nodo compartido entre base y emisor |
| Conversor D/A de escalera R-2R | Cada nodo de la escalera tiene la misma forma, y la matriz sale con un patrón regular |
06En el laboratorio
Plantear por nodos el puente con la Pt100 a 100 °C y galvanómetro de 1 kΩ. Resolver el sistema de 2×2 con la regla de Cramer y comparar con el panel del laboratorio.
Plantear las tres ecuaciones de malla del mismo puente, resolverlas y verificar que la corriente del detector coincide. Contar cuántas operaciones hicieron falta en cada método.
Cargar el puente en LTspice o ngspice, hacer un barrido de la resistencia de la Pt100 de 100 a 175 Ω y graficar la tensión del detector. Verificar que no es exactamente lineal.
07Errores frecuentes
- Mezclar sentidos de corriente en un mismo nodo. Conviene escribir siempre todas las corrientes como «salientes»: el signo se ordena solo.
- Olvidar el signo menos fuera de la diagonal. La conductancia compartida entra restando.
- Plantear mallas en un circuito no plano. El método de mallas exige poder dibujar el circuito sin cruces; el de nodos no.
- Elegir el método con más ecuaciones. Contar antes: \( N-1 \) contra \( B-N+1 \).
- Suponer que el puente es lineal. La tensión del detector no crece exactamente en proporción a la variación de la resistencia, salvo para variaciones chicas.
08Autoevaluación
¿Por qué un puente de Wheatstone con detector no se puede reducir serie-paralelo?
Porque el detector une los dos puntos medios y ningún par de resistencias queda estrictamente en serie ni en paralelo.
¿Cómo se arma la matriz de conductancias por inspección?
Diagonal: suma de conductancias conectadas a cada nodo. Fuera de la diagonal: menos la conductancia que une a los dos nodos.
¿Cuántas ecuaciones da cada método en un circuito con N nodos y B ramas?
Nodos: \( N-1 \). Mallas: \( B-N+1 \).
¿Cuándo está equilibrado el puente?
Cuando \( R_1/R_2 = R_3/R_4 \): los dos puntos medios quedan a la misma tensión y por el detector no circula corriente.
¿Qué método usa SPICE?
El análisis nodal modificado: nodos, más las corrientes de las fuentes de tensión como incógnitas adicionales.
09Para ampliar
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. Los capítulos de análisis de nodos y mallas, con supernodos, supermallas y la escritura por inspección.
- Chung-Wen Ho, Albert E. Ruehli y Pierce A. Brennan. The Modified Nodal Approach to Network Analysis. IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 22, 1975. El artículo que definió el análisis nodal modificado que usan todos los simuladores.
- IEC 60751. Industrial platinum resistance thermometers and platinum temperature sensors. IEC, 2022. La norma que fija la curva de resistencia de la Pt100 usada en el laboratorio.