Régimen permanente y espectros
Un filtro no deforma una señal de manera misteriosa: cambia la proporción entre sus armónicos. Con esa sola idea, todo lo aprendido para senoidales sirve para cualquier señal periódica.
01Cualquier señal periódica es una suma de senoidales
Todo lo que se aprendió para el régimen sinusoidal parecería servir solo para señales senoidales puras, que en la práctica casi no existen. Fourier resolvió el problema en 1807: toda señal periódica razonable es una suma de senoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental. Como los circuitos lineales cumplen superposición, alcanza con resolver el circuito una vez por cada una de esas senoidales y sumar.
02El espectro de líneas
Graficar las amplitudes \( c_n \) contra la frecuencia da el espectro de la señal: una serie de líneas en \( f_0, 2f_0, 3f_0, \ldots \). Cada forma de onda tiene su firma.
| Forma de onda, amplitud 1 | Armónicos presentes | Amplitud del armónico \( n \) | Cómo decaen |
|---|---|---|---|
| Cuadrada simétrica | Solo impares | \( 4/(\pi n) \) | Como \( 1/n \): lento |
| Triangular simétrica | Solo impares | \( 8/(\pi^2 n^2) \) | Como \( 1/n^2 \): rápido |
| Diente de sierra | Todos | \( 2/(\pi n) \) | Como \( 1/n \) |
La regla que hay detrás es general: cuanto más abrupta es una señal, más lento decaen sus armónicos. Un salto brusco, como el de la onda cuadrada, necesita frecuencias altísimas para construirse; una rampa continua, como la triangular, se arma casi entera con los primeros términos.
03La respuesta, armónico por armónico
Si la entrada es una suma de senoidales, la salida de un circuito lineal es la suma de las respuestas a cada una. Cada armónico sale multiplicado por el módulo de \( H \) a su propia frecuencia y desfasado por su fase.
Arriba, el espectro: en gris los armónicos de entrada y en color los que salen del filtro pasabajos. Abajo, la forma de onda de salida reconstruida sumando los primeros 99 armónicos.
04Valor eficaz y distorsión armónica
Como los armónicos de distinta frecuencia no intercambian potencia media entre sí, el cuadrado del valor eficaz de una señal es la suma de los cuadrados de los valores eficaces de sus armónicos: la identidad de Parseval.
05Del espectro de líneas al espectro continuo
Si el período crece sin límite, las líneas del espectro se acercan unas a otras hasta formar un continuo: la serie de Fourier se convierte en la transformada de Fourier, que describe el contenido de frecuencias de una señal que no se repite, como un pulso único. Las señales de potencia de la unidad de señales tienen espectro de líneas; las de energía, espectro continuo. Es la misma idea con dos herramientas, y la materia Análisis de Señales y Sistemas las desarrolla en detalle.
06Dónde aparece en la electrónica
| Caso | Qué se mira en el espectro |
|---|---|
| Amplificador de audio | Su THD a potencia nominal: por debajo de 0,1 % es inaudible |
| Red eléctrica con muchas fuentes conmutadas | El tercer armónico de 150 Hz, que en sistemas trifásicos se suma en el neutro y lo recalienta |
| Compatibilidad electromagnética | Los armónicos de un reloj digital de flancos rápidos llegan a cientos de MHz y hay que mantenerlos bajo los límites de emisión |
| Analizador de espectro | El instrumento que muestra directamente las líneas de una señal |
07En el laboratorio
Aplicar una onda cuadrada de 1 kHz a un osciloscopio con función FFT y medir la amplitud de los armónicos 1, 3, 5 y 7. Verificar que siguen la relación \( 1 : 1/3 : 1/5 : 1/7 \).
Con el laboratorio de esta página, observar qué pasa con la forma de onda de salida cuando el corte del filtro baja de 100·f₀ a 0,3·f₀, y relacionar el resultado con la carga RC del contenido de componentes pasivos.
Calcular la THD de una onda cuadrada tomando solo los armónicos hasta el 9 y comparar con el valor exacto de 48,3 %. Explicar por qué la suma parcial da menos.
08Errores frecuentes
- Aplicar superposición armónica a un circuito no lineal. Un diodo o un transistor saturado generan armónicos nuevos; la receta de esta unidad vale solo para circuitos lineales.
- Olvidar que \( H \) cambia de armónico en armónico. Cada uno se multiplica por \( |H(jn\omega_0)| \), no por un único valor.
- Sumar amplitudes de armónicos para obtener el valor eficaz. Se suman los cuadrados de los valores eficaces, no las amplitudes.
- Esperar armónicos pares en una onda con simetría de media onda. La cuadrada y la triangular simétricas solo tienen impares.
- Confundir espectro de líneas con espectro continuo. El primero es de señales periódicas; el segundo, de señales que no se repiten.
09Autoevaluación
¿Qué armónicos tiene una onda cuadrada simétrica?
Solo los impares, con amplitud \( 4/(\pi n) \).
¿Por qué los armónicos de la triangular decaen más rápido que los de la cuadrada?
Porque la triangular no tiene saltos: es continua, y solo su pendiente cambia bruscamente. Cuanto más suave la señal, más rápido decae su espectro.
¿Cómo se calcula la salida de un circuito lineal ante una onda periódica?
Se descompone la entrada en armónicos, se multiplica cada uno por \( H(jn\omega_0) \) y se suman las respuestas.
¿Qué dice la identidad de Parseval?
Que el cuadrado del valor eficaz es la suma de los cuadrados de los valores eficaces de cada componente armónico, más el del valor medio.
¿Cuánto vale la THD de una onda cuadrada?
48,3 %.
10Para ampliar
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentals of Electric Circuits. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2021. El capítulo de series de Fourier aplica exactamente este procedimiento a circuitos RC y RLC.
- Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky y S. Hamid Nawab. Signals and Systems. 2.ª ed., Prentice Hall, 1996. El puente formal entre la serie de Fourier y la transformada, para quien siga con Análisis de Señales.
- Keysight Technologies. Spectrum Analysis Basics (Application Note 150). Keysight. Cómo funciona por dentro el instrumento que muestra el espectro de líneas en el laboratorio.