Respuesta en frecuencia
Un sistema LTI no mezcla frecuencias: cada armónico sale escalado y desfasado, sin enterarse de los demás. Pero mirar sólo el módulo no alcanza, y un pasatodo lo demuestra.
01Lo que el sistema le hace a cada frecuencia
Si una exponencial compleja entra a un sistema LTI y sale multiplicada por \( H(s) \), entonces evaluando sobre el eje imaginario se obtiene lo que le pasa a cada frecuencia real:
Eso significa que un sistema LTI no mezcla frecuencias: cada armónica de la entrada sale escalada por \( |H| \) y corrida por \( \angle H \), sin enterarse de las demás. Analizar un circuito se reduce a leer dos curvas.
Arriba la entrada y la salida en el tiempo. Abajo, el espectro de la entrada en gris, la respuesta del filtro en amarillo y lo que queda a la salida en verde.
02Por qué se dibuja en decibeles y en escala logarítmica
El diagrama de Bode no es una convención caprichosa. Tomando logaritmo de un producto de factores, la multiplicación se vuelve suma:
Y con el eje de frecuencias en escala logarítmica, esas asíntotas son rectas: cada polo simple aporta −20 dB por década a partir de su frecuencia, cada cero +20. Con dos reglas se dibuja el Bode de cualquier sistema:
| Elemento | Módulo | Fase |
|---|---|---|
| Polo simple en \( \omega_p \) | −20 dB/déc desde \( \omega_p \); −3 dB en \( \omega_p \) | 0 a −90°, con −45° en \( \omega_p \) |
| Cero simple en \( \omega_z \) | +20 dB/déc desde \( \omega_z \) | 0 a +90° |
| Polo en el origen | −20 dB/déc desde siempre | −90° constante |
| Par de polos con \( Q \) | −40 dB/déc, con un pico de \( 20\log Q \) si \( Q \gt 0{,}707 \) | 0 a −180° |
La transición de fase de un polo simple no es abrupta: arranca una década antes de \( \omega_p \) y termina una década después. Por eso, al compensar un lazo realimentado, un polo que parece lejano igual afecta el margen de fase.
03La fase también deforma
Es fácil quedarse sólo con el módulo. Pero si los armónicos de una señal llegan con retardos distintos, la forma de onda se deforma aunque sus amplitudes se hayan respetado. Lo que mide eso es el retardo de grupo:
El caso extremo está en el laboratorio: un pasatodo tiene módulo exactamente plano —no atenúa ninguna frecuencia— y aun así deforma la señal, porque su fase no es lineal. Es la demostración de que mirar sólo el módulo no alcanza.
El oído es bastante insensible a la fase, así que en audio se tolera. En video y en transmisión de datos, no: un retardo de grupo desparejo corre unos armónicos respecto de otros, ensancha los pulsos y hace que un símbolo se meta en el lugar del siguiente. Eso se llama interferencia entre símbolos, y es la razón de que en comunicaciones se usen filtros de fase lineal aunque cuesten más orden.
04Fase mínima
Un sistema es de fase mínima si todos sus polos y todos sus ceros están en el semiplano izquierdo. La propiedad que lo hace interesante es ésta: entre todos los sistemas con el mismo módulo, el de fase mínima es el que tiene menos desfasaje y el menor retardo de grupo.
Y trae una consecuencia muy práctica: en un sistema de fase mínima, el módulo determina la fase. Con sólo medir la curva de amplitud se puede deducir el desfasaje, que es lo que permite estimar el margen de fase de un lazo a partir de la pendiente del Bode. La regla que sale de ahí —cruzar por cero con −20 dB/década— es el criterio de diseño de cualquier realimentación.
| Pendiente al cruzar 0 dB | Fase aproximada | Margen | Comportamiento |
|---|---|---|---|
| −20 dB/déc | −90° | 90° | Estable y sin sobrepico |
| −30 dB/déc | −135° | 45° | Aceptable, con algo de sobrepico |
| −40 dB/déc | −180° | 0° | En el límite: oscila |
Un cero en el semiplano derecho rompe todo esto: aporta el módulo de un cero pero la fase de un polo, así que empeora el margen sin dar nada a cambio. Es lo que complica la compensación de los convertidores elevadores.
05En el laboratorio
Trazar por asíntotas el Bode de \( H(s) = \dfrac{100}{(1+s/10)(1+s/1000)} \) y después medirlo con el generador y el osciloscopio en diez frecuencias. Comparar los dos en el mismo papel.
Armar un pasatodo de primer orden, inyectar una onda cuadrada y comparar entrada y salida en el osciloscopio. Verificar con el analizador que el módulo es plano, y explicar por qué la forma cambió igual.
Medir el Bode de lazo abierto de un amplificador realimentado, encontrar la frecuencia de cruce por 0 dB y leer la fase ahí. Contrastar el margen obtenido con el sobrepico que muestra la respuesta al escalón.
06Errores frecuentes
- Mirar sólo el módulo. La fase deforma, y un pasatodo lo demuestra.
- Creer que un polo lejano no afecta la fase. Su transición empieza una década antes.
- Confundir retardo de fase con retardo de grupo. El segundo es la derivada de la fase y es el que dice si la forma se conserva.
- Dar por fase mínima a un sistema con ceros a la derecha. Ahí el módulo ya no determina la fase.
- Diseñar un lazo que cruce 0 dB con −40 dB/década. El margen de fase queda en cero.
07Autoevaluación
¿Qué relación hay entre los espectros de entrada y salida?
\( Y = H\,X \): se multiplican frecuencia por frecuencia. Un sistema LTI no mezcla frecuencias.
¿Por qué el Bode usa decibeles y escala logarítmica?
Porque así el producto de factores se vuelve suma y las asíntotas quedan rectas, lo que permite trazarlo a mano.
¿Cuánto aporta un polo simple en su propia frecuencia?
−3 dB de módulo y −45° de fase.
¿Qué es el retardo de grupo?
Menos la derivada de la fase respecto de la frecuencia. Si es constante, la forma de la señal se conserva.
¿Cómo puede deformar un filtro de módulo plano?
Con fase no lineal: los armónicos llegan corridos unos respecto de otros. Es lo que hace un pasatodo.
¿Con qué pendiente conviene cruzar 0 dB?
Con −20 dB/década, que deja unos 90° de margen de fase.
08Para ampliar
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. El trazado de Bode por asíntotas y los márgenes de fase y ganancia, con ejemplos completos.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Circuitos microelectrónicos. 7.ª ed., Oxford University Press, 2016. Respuesta en frecuencia de amplificadores y compensación de lazos realimentados.
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Retardo de grupo, fase lineal y sistemas de fase mínima, con su relación módulo-fase.