Relación de Parseval
La energía de una señal es la misma calculada en el tiempo o en la frecuencia. De esa igualdad salen la distorsión armónica, el cálculo de ruido y la idea que hace posible el JPEG y el MP3.
01La energía no depende de dónde se la mire
Una señal tiene una cierta energía. Esa energía se puede calcular sumando su cuadrado a lo largo del tiempo, o sumando el cuadrado de su espectro a lo largo de la frecuencia, y el resultado es el mismo. Eso es la relación de Parseval:
Y para señales periódicas, donde lo que tiene sentido es la potencia media, la versión es todavía más cómoda porque la integral se vuelve una suma:
Que no haya términos cruzados es consecuencia directa de la ortogonalidad: al elevar al cuadrado la suma de armónicas, los productos entre armónicas distintas se promedian a cero y sólo sobreviven los cuadrados. Es el mismo teorema de Pitágoras, con infinitas dimensiones.
02Cuánta energía aporta cada armónico
La utilidad práctica de Parseval no es verificar una igualdad: es poder repartir la energía entre las frecuencias y preguntarse cuántas hacen falta. El laboratorio calcula las dos integrales, las compara, y muestra la acumulación armónico por armónico.
Arriba la señal; abajo, la potencia de cada armónico y la acumulada. Mirá cuántos armónicos hacen falta para juntar el 99 %, y cómo cambia según la forma de onda.
03De acá sale la distorsión armónica
Si la potencia total es la suma de las potencias de los armónicos, entonces se puede preguntar qué fracción no está en la fundamental. Eso es la distorsión armónica total:
Un amplificador perfecto entrega una senoidal pura: toda la potencia está en la fundamental y la THD vale cero. Cualquier alinealidad reparte energía hacia los armónicos, y ese porcentaje es lo que mide un distorsiómetro.
| Señal | THD | Comentario |
|---|---|---|
| Senoidal ideal | 0 % | Toda la potencia en la fundamental |
| Amplificador de audio decente | < 0,1 % | Los armónicos están 60 dB abajo |
| Onda triangular | 12 % | Sus armónicos caen como \( 1/n^2 \) |
| Onda cuadrada | 48,3 % | Caen como \( 1/n \): hay muchísimo afuera |
La última fila da un número que conviene recordar porque sirve de referencia: una cuadrada tiene una THD del 48,3 %, que es el máximo que se suele encontrar. Si un distorsiómetro marca algo cercano, la señal está completamente recortada.
04Dónde más se usa
| Problema | Cómo lo resuelve Parseval |
|---|---|
| Ruido a la salida de un filtro | Se integra la densidad espectral por \( |H(j\omega)|^2 \) en vez de simular en el tiempo |
| Ancho de banda ocupado | Se busca la banda que contiene el 99 % de la potencia |
| Elegir cuántos armónicos calcular | Se corta cuando la acumulada llega al objetivo |
| Relación señal-ruido | Es un cociente entre dos energías, y se puede medir en cualquiera de los dos dominios |
| Compresión de audio e imagen | Se descartan los coeficientes que aportan poca energía |
La última fila es una idea sencilla con consecuencias enormes. Si la mayor parte de la energía de una señal está en unos pocos coeficientes, guardar sólo ésos conserva casi toda la señal. Eso es, en esencia, lo que hacen el JPEG y el MP3: transformar, quedarse con lo que tiene energía y tirar el resto.
Cuánto se puede recortar depende de cómo caigan los armónicos. Los de una triangular caen como \( 1/n^2 \), así que sus potencias caen como \( 1/n^4 \) y con tres o cuatro términos ya se junta casi todo. Los de una cuadrada caen como \( 1/n \), con potencias como \( 1/n^2 \), y hacen falta muchos más. Y un pulso angosto reparte la energía en un montón de armónicos: por eso ocupa tanto ancho de banda.
05En el laboratorio
Para una onda cuadrada de amplitud 1, calcular la potencia en el tiempo —que vale 1— y sumar \( \sum (4/n\pi)^2/2 \) para los primeros diez armónicos impares. Comprobar que la suma se acerca a 1 y estimar cuánto falta.
Medir con el analizador de espectro la amplitud de los primeros cinco armónicos a la salida de un amplificador, calcular la THD y compararla con la que indica el distorsiómetro. Repetir subiendo la señal hasta que recorte.
Para un tren de pulsos de 1 μs a 10 kHz, determinar cuántos armónicos hacen falta para juntar el 99 % de la potencia y qué ancho de banda representan. Contrastar con la regla \( B \approx 1/t_r \).
06Errores frecuentes
- Sumar amplitudes en vez de potencias. Parseval suma cuadrados; las amplitudes no se suman.
- Olvidar el \( 1/2\pi \) en la versión de la integral, o arrastrarlo trabajando en hertz.
- Contar una sola mitad del espectro. En la versión bilateral entran las frecuencias negativas.
- Calcular THD con la señal recortada por el propio instrumento. Se termina midiendo el instrumento.
- Suponer que pocos armónicos alcanzan siempre. Depende de con qué rapidez caen.
07Autoevaluación
¿Qué dice Parseval, en una línea?
Que la energía calculada en el tiempo y la calculada en frecuencia son la misma.
¿Por qué no hay términos cruzados entre armónicos?
Por la ortogonalidad: el promedio del producto de dos armónicas distintas vale cero.
¿Cuánto vale la THD de una onda cuadrada?
48,3 %. Es el valor de referencia de una señal completamente recortada.
¿Por qué una triangular necesita menos armónicos que una cuadrada?
Porque sus amplitudes caen como \( 1/n^2 \) y sus potencias como \( 1/n^4 \): la acumulada llega al 99 % mucho antes.
¿Cómo se calcula el ruido a la salida de un filtro?
Integrando la densidad espectral de ruido multiplicada por \( |H(j\omega)|^2 \) sobre toda la banda.
¿Qué relación tiene Parseval con el JPEG?
Permite saber qué coeficientes aportan poca energía, para descartarlos sin que se note demasiado.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Parseval en sus dos versiones, con la deducción a partir de la ortogonalidad.
- C. D. Motchenbacher y J. A. Connelly. Low-Noise Electronic System Design. Wiley, 1993. El cálculo de ruido total integrando densidad espectral, que es Parseval aplicado todos los días.
- Adel S. Sedra y Kenneth C. Smith. Circuitos microelectrónicos. 7.ª ed., Oxford University Press, 2016. Distorsión armónica en amplificadores, con su medición y sus causas.