Series e integrales de Fourier
Toda señal periódica razonable es una suma de senoidales cuyas frecuencias son múltiplos de la fundamental. Y como cada una atraviesa un sistema LTI sin cambiar de forma, alcanza con saber qué le pasa a cada armónica.
01Armar cualquier periódica con senoidales
El resultado que abre la segunda mitad de la materia es éste: toda señal periódica razonable se puede escribir como una suma de exponenciales complejas armónicamente relacionadas, es decir, de senoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental.
Y como esas exponenciales son autofunciones de cualquier sistema LTI, el beneficio es inmediato: para saber qué le hace un circuito a una señal periódica, alcanza con saber qué le hace a cada armónica por separado y volver a sumar.
02Ortogonalidad: por qué se pueden despejar
Que la suma exista es una cosa; poder calcular los coeficientes es otra. Lo que lo hace posible es una propiedad de las exponenciales armónicas:
La idea es la misma que la de los vectores perpendiculares. Para saber cuánto hay de la componente \( m \) en una señal, se la multiplica por la armónica \( m \) conjugada y se promedia: todo lo que no sea esa componente se cancela, y lo que queda es el coeficiente buscado.
Es exactamente lo que hace un amplificador lock-in en un laboratorio: multiplica la señal medida por una referencia a la frecuencia de interés y promedia. Todo lo que no esté a esa frecuencia —incluido el ruido, que está en todas— se promedia a cero. Un lock-in es, literalmente, un calculador de coeficientes de Fourier.
03Sumar armónicas y ver aparecer la señal
Arriba, la señal original en gris y la suma de los primeros armónicos en color. Abajo, el espectro. Subí la cantidad de términos y mirá qué pasa cerca de los saltos.
04Convergencia, y el sobrepico que no se va
Las condiciones de Dirichlet dicen cuándo la serie converge, y las cumple cualquier señal de ingeniería: que sea absolutamente integrable en un período, que tenga una cantidad finita de máximos y mínimos, y una cantidad finita de discontinuidades, todas de salto finito.
En los puntos de discontinuidad la serie converge al promedio de los dos valores laterales. En una cuadrada que salta de −1 a +1, la serie vale exactamente cero en el instante del salto, sin importar cuántos términos se sumen.
Cerca de un salto, la suma parcial siempre lo sobrepasa, y el exceso vale alrededor del 8,95 % de la altura del salto. Lo notable es que ese porcentaje no baja al agregar términos: la oscilación se vuelve más angosta y se arrima al salto, pero su altura se queda igual. El laboratorio lo mide: con 5 armónicos y con 60 el sobrepico es prácticamente el mismo.
La consecuencia práctica aparece al filtrar. Un pasabajos abrupto aplicado a un pulso produce ese mismo sobrepico —el ringing que se ve en el osciloscopio— y no se lo puede eliminar afinando el corte: hay que suavizar la transición del filtro, que es lo que hacen las ventanas de diseño.
05De la serie a la integral
La serie sirve para señales periódicas. Para una señal aislada —un pulso, un transitorio— se la piensa como periódica con período \( T \to \infty \). Al crecer \( T \), la separación entre armónicas, \( \omega_0 = 2\pi/T \), se achica, y las rayas del espectro se juntan hasta volverse un continuo:
Eso explica una diferencia que conviene tener clara desde el principio: una señal periódica tiene espectro de rayas, separadas \( \omega_0 \); una señal aislada tiene espectro continuo. Y a medida que un tren de pulsos se vuelve más espaciado, sus rayas se juntan y su envolvente es justamente la transformada del pulso solo.
06En el laboratorio
Calcular a mano los \( b_n \) de una onda cuadrada impar de amplitud 1 y verificar que valen \( 4/(n\pi) \) para \( n \) impar y cero para \( n \) par. Contrastar con el espectro que muestra el laboratorio.
Generar una cuadrada de 1 kHz y medir con el analizador de espectro la amplitud del tercer, quinto y séptimo armónico. Comprobar que caen como \( 1/n \) y que los pares no aparecen.
Pasar un tren de pulsos por un pasabajos de orden alto con corte abrupto y observar el sobrepico en el flanco. Medir su altura respecto del salto y comparar con el 8,95 % que predice Gibbs.
07Errores frecuentes
- Creer que el sobrepico de Gibbs desaparece con más términos. Se angosta, pero su altura no baja.
- Olvidar el \( 1/T \) en la fórmula de los coeficientes.
- Esperar armónicos pares en una señal con simetría de media onda. No los tiene.
- Confundir el espectro de rayas con el continuo. Rayas para periódicas, continuo para aisladas.
- Suponer que la serie vale el valor de la señal en un salto. Vale el promedio de los dos laterales.
08Autoevaluación
¿Qué propiedad permite despejar los coeficientes?
La ortogonalidad de las exponenciales armónicas: el promedio del producto de dos distintas da cero.
¿Cuánto vale la serie en un punto de discontinuidad?
El promedio de los dos valores laterales.
¿Cuánto sobrepasa la suma parcial en un salto?
Alrededor del 8,95 % de la altura del salto, y ese valor no baja por más términos que se sumen.
¿Cómo caen los armónicos de una cuadrada?
Como \( 1/n \), y sólo están los impares.
¿Qué le pasa al espectro cuando \( T \to \infty \)?
Las rayas se juntan hasta formar un continuo: la serie se vuelve la integral de Fourier.
¿Qué instrumento calcula un coeficiente de Fourier?
Un amplificador lock-in: multiplica por una referencia a esa frecuencia y promedia.
09Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Los capítulos 3 y 4: la serie, la transformada y el paso de una a la otra.
- Ronald N. Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications. 3.ª ed., McGraw-Hill, 1999. El tratamiento gráfico del fenómeno de Gibbs y de la convergencia.
- Simon Haykin y Barry Van Veen. Señales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. Tablas de coeficientes de las formas de onda clásicas, con sus simetrías.