Propiedades de la transformada
Cada propiedad dice qué le pasa al espectro cuando se toca la señal. Con ellas se resuelven problemas sin volver a integrar nunca, y sale la regla del tiempo de subida que se usa todos los días en el laboratorio.
01La tabla que hay que saber leer
Las propiedades de la transformada no son curiosidades para memorizar: cada una dice qué le pasa al espectro cuando se toca la señal, y al revés. Son las que permiten resolver problemas sin volver a integrar nunca.
| En el tiempo | En la frecuencia | Qué significa |
|---|---|---|
| \( a\,x(t) + b\,y(t) \) | \( a\,X(j\omega) + b\,Y(j\omega) \) | Linealidad: todo se puede descomponer |
| \( x(t - t_0) \) | \( X(j\omega)\,e^{-j\omega t_0} \) | El módulo no cambia; sólo se agrega fase lineal |
| \( x(t)\,e^{j\omega_0 t} \) | \( X\big(j(\omega - \omega_0)\big) \) | Modulación: el espectro se corre. Es la radio |
| \( x(at) \) | \( \dfrac{1}{|a|}X\!\left(\dfrac{j\omega}{a}\right) \) | Comprimir en el tiempo ensancha en frecuencia |
| \( \dfrac{dx}{dt} \) | \( j\omega\,X(j\omega) \) | Derivar realza lo agudo, con +90° de fase |
| \( \displaystyle\int_{-\infty}^{t} x\,d\tau \) | \( \dfrac{X(j\omega)}{j\omega} + \pi X(0)\delta(\omega) \) | Integrar atenúa lo agudo |
| \( x(t) * h(t) \) | \( X(j\omega)\,H(j\omega) \) | La convolución se vuelve producto |
| \( x(t)\,h(t) \) | \( \dfrac{1}{2\pi}X * H \) | Multiplicar en el tiempo convoluciona espectros |
| \( x^{*}(t) \) | \( X^{*}(-j\omega) \) | De ahí la simetría hermítica de las señales reales |
Las dos filas en negrita son las que más se usan. La del desplazamiento explica por qué un retardo no se oye: el oído percibe el módulo del espectro, no la fase. Y la de la convolución es la que convierte todo el análisis de circuitos en multiplicar números.
02Ver las dos caras a la vez
La manera de que estas propiedades dejen de ser una tabla es mirar los dos dominios al mismo tiempo mientras se toca la señal. El laboratorio hace eso: a la izquierda \( x(t) \), a la derecha su módulo y su fase, y arriba la señal original en gris para comparar.
Elegí la operación y movés su parámetro. Mirá cuál de los dos gráficos de la derecha cambia y cuál se queda igual.
03El compromiso que no se puede esquivar
La propiedad del escalamiento tiene una consecuencia que aparece en todos lados. Si \( x(at) \) tiene espectro \( X(j\omega/a)/|a| \), entonces acortar una señal la vuelve más ancha en frecuencia, y en la misma proporción. El producto entre duración y ancho de banda es una constante:
| Situación | Consecuencia |
|---|---|
| Un pulso de 1 μs | Ocupa del orden de 1 MHz de ancho de banda |
| Un canal de radio angosto | No puede transmitir pulsos rápidos |
| Duplicar la velocidad de un enlace | Requiere el doble de ancho de banda |
| Un osciloscopio de 100 MHz | No puede mostrar un flanco de menos de 3,5 ns |
La última fila es la regla práctica más usada del laboratorio: el tiempo de subida de un instrumento y su ancho de banda cumplen \( t_r \approx 0{,}35/B \). Si el flanco que se quiere medir es más rápido que eso, lo que se ve en la pantalla es el osciloscopio, no la señal.
04Modulación: correr el espectro
Multiplicar por una exponencial compleja desplaza el espectro entero. Con un coseno real, que son dos exponenciales, el espectro se parte en dos copias:
De acá salen las bandas laterales: si la señal moduladora llega hasta 5 kHz, la señal modulada ocupa 10 kHz alrededor de la portadora. Y explica algo que ya se había anticipado al hablar de sistemas LTI: para correr una señal en frecuencia hace falta un multiplicador, porque un sistema LTI no puede hacerlo.
La transformada y su inversa se parecen tanto que cada propiedad tiene su pareja. Si un pulso rectangular en el tiempo da un sinc en frecuencia, entonces un sinc en el tiempo da un pulso rectangular en frecuencia —el filtro ideal—. Y si desplazar en el tiempo agrega fase lineal, desplazar en frecuencia multiplica por una exponencial en el tiempo. Aprendida una propiedad, se obtiene la otra gratis.
05En el laboratorio
Capturar un pulso y el mismo pulso retrasado 1 ms, y comparar las dos transformadas con la FFT del osciloscopio. Verificar que el módulo es idéntico y que la fase difiere en una recta de pendiente \( -t_0 \).
Inyectar un flanco mucho más rápido que el ancho de banda del osciloscopio y medir el tiempo de subida que muestra. Comparar con \( 0{,}35/B \) y concluir cuál de los dos se está midiendo.
Modular una portadora de 1 MHz con un tono de 10 kHz y observar el espectro. Identificar la portadora y las dos bandas laterales, y verificar que están a media amplitud.
06Errores frecuentes
- Creer que un retardo cambia el espectro. Cambia la fase, no el módulo.
- Confundir el sentido del escalamiento. Comprimir en el tiempo ensancha en frecuencia.
- Olvidar el \( 1/|a| \) del escalamiento: el área del espectro tiene que conservarse.
- Mezclar convolución con multiplicación. Convolución en un dominio es producto en el otro.
- Pedir una señal corta y de banda angosta. No existe; el producto está acotado.
07Autoevaluación
¿Qué le hace un retardo al espectro?
Multiplica por \( e^{-j\omega t_0} \): agrega fase lineal y deja el módulo intacto.
Si se comprime una señal a la mitad, ¿qué pasa con su ancho de banda?
Se duplica, y la amplitud del espectro se reduce a la mitad.
¿Qué ancho ocupa una señal de 5 kHz modulada en amplitud?
10 kHz: dos bandas laterales de 5 kHz cada una, alrededor de la portadora.
¿Cuál es el tiempo de subida mínimo de un osciloscopio de 100 MHz?
\( 0{,}35/100\text{ MHz} = 3{,}5 \) ns. Un flanco más rápido se ve deformado.
¿En qué se convierte la convolución al pasar a frecuencia?
En un producto. Por eso poner filtros en cascada es multiplicar respuestas.
¿Qué dice la dualidad?
Que cada propiedad tiene su pareja intercambiando los dominios: un pulso da un sinc, y un sinc da un pulso.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. El capítulo 4, con la tabla completa de propiedades y sus demostraciones.
- Ronald N. Bracewell. The Fourier Transform and Its Applications. 3.ª ed., McGraw-Hill, 1999. Cada propiedad ilustrada con el par de gráficos correspondiente. Insuperable para la intuición.
- Leon W. Couch. Sistemas de comunicación digitales y analógicos. 7.ª ed., Pearson, 2008. La modulación como aplicación directa del desplazamiento en frecuencia.