Espectros
Un analizador no puede observar para siempre, y ese recorte tiene consecuencias: un tono puro aparece desparramado. Las ventanas lo corrigen a costa de resolución, y elegir una es elegir qué se pierde.
01Qué se grafica cuando se grafica un espectro
La transformada devuelve un número complejo por cada frecuencia, así que hacen falta dos gráficos para mostrarla entera: el de amplitud y el de fase.
En la práctica casi siempre se mira el de amplitud, y por una razón: el oído y la mayoría de los detectores son insensibles a la fase. Pero la fase está, y es la que guarda la información del cuándo: dos señales con idéntico espectro de amplitud pueden ser completamente distintas en el tiempo si sus fases difieren.
| Tipo de señal | Su espectro | Unidades |
|---|---|---|
| Periódica | Rayas en \( k\omega_0 \) | Volts: es una amplitud |
| Aislada, de energía finita | Continuo | V/Hz: es una densidad |
| Ruido, señal aleatoria | Densidad espectral de potencia | V²/Hz |
La diferencia entre amplitud y densidad importa más de lo que parece. El espectro de una señal aislada no se mide en volts sino en volts por hertz, y su valor en un punto no significa nada por sí solo: lo que tiene sentido es la integral sobre una banda. Por eso el ruido de un amplificador se especifica en nV/√Hz, y hay que multiplicarlo por la raíz del ancho de banda para obtener volts.
02Bilateral y unilateral
La transformada da frecuencias positivas y negativas. Para una señal real, la simetría hermítica hace que la mitad negativa esté determinada por la positiva, así que los instrumentos muestran una sola mitad. Eso obliga a un ajuste:
Ése es el origen de un error clásico: calcular los coeficientes complejos, quedarse con los de \( n \ge 1 \) y olvidarse del factor 2. El resultado da la mitad de lo que muestra el analizador.
03Lo que hace el analizador con una ventana finita
Un analizador de espectro real no puede observar la señal desde \( -\infty \) hasta \( +\infty \): toma un pedazo de duración finita. Y tomar un pedazo es multiplicar por un pulso rectangular, que por la propiedad de la multiplicación equivale a convolucionar el espectro con un sinc.
La consecuencia se llama fuga espectral: un tono puro, que debería dar una sola raya, aparece desparramado sobre las frecuencias vecinas. Salvo que en la ventana entre un número entero de ciclos, en cuyo caso los ceros del sinc caen justo sobre las otras rayas y no se ve nada raro.
Un tono observado durante una ventana finita. Movés la frecuencia y mirás qué pasa cuando deja de entrar un número entero de ciclos; después probá las ventanas y comparen.
04Elegir la ventana es elegir qué se pierde
Todas las ventanas hacen lo mismo: en vez de cortar la señal de golpe, la apagan suavemente en los bordes. Eso reduce la fuga, pero ensancha el lóbulo principal, que es lo mismo que decir que empeora la resolución en frecuencia. No hay ventana buena: hay ventanas apropiadas para cada cosa.
| Ventana | Lóbulos laterales | Ancho del principal | Para qué sirve |
|---|---|---|---|
| Rectangular | −13 dB | El más angosto | Separar dos tonos parecidos y fuertes |
| Hann | −31 dB | El doble | Uso general, es la de por defecto |
| Hamming | −43 dB | El doble | Cuando molestan los primeros lóbulos |
| Blackman | −58 dB | El triple | Ver una señal débil al lado de una fuerte |
| Flat-top | −90 dB | Muy ancho | Medir amplitudes: su error de nivel es mínimo |
La última fila merece explicación. Cuando una frecuencia cae entre dos rayas del análisis, la amplitud medida queda por debajo de la real: con ventana rectangular el error llega a 3,9 dB, y con Hann a 1,4 dB. La flat-top está diseñada para que ese error sea de centésimas, a costa de una resolución malísima. Por eso, en un analizador, para medir el nivel de un tono se usa flat-top, y para separar tonos cercanos, otra.
Dos tonos se distinguen sólo si están separados más de \( 1/T \), con \( T \) la duración de la ventana. Para resolver 1 Hz hay que observar 1 segundo, y no hay ventana ni algoritmo que lo evite: es el mismo compromiso entre duración y ancho de banda de siempre. Cuando en un analizador se baja el ancho de banda de resolución, lo que en realidad se está haciendo es observar durante más tiempo, y por eso el barrido se vuelve lento.
05En el laboratorio
Con la FFT de un osciloscopio, capturar una senoidal cuya frecuencia sea un múltiplo exacto de la resolución y después correrla media raya. Comparar los dos espectros y medir cuántos decibeles aparecen a los costados.
Generar dos tonos separados 50 Hz con amplitudes iguales, y después con una 40 dB menor que la otra. Encontrar qué ventana permite ver los dos en cada caso y explicar por qué no es la misma.
Medir la amplitud de un tono con ventana rectangular, Hann y flat-top, para una frecuencia que caiga entre dos rayas. Comparar los tres valores con el que muestra el voltímetro de valor eficaz verdadero.
06Errores frecuentes
- Olvidar el factor 2 al pasar a unilateral. Da la mitad de la amplitud real.
- Leer una densidad espectral como si fuera una amplitud. V/Hz no son volts; hay que integrar sobre la banda.
- Culpar al instrumento por la fuga. Es consecuencia de observar durante un tiempo finito, no un defecto.
- Usar la ventana de por defecto para medir amplitudes. Para eso está la flat-top.
- Esperar más resolución de la que permite el tiempo de observación. El límite es \( 1/T \).
07Autoevaluación
¿Por qué hacen falta dos gráficos para un espectro?
Porque la transformada es compleja: uno para la amplitud y otro para la fase.
¿Qué causa la fuga espectral?
Observar durante un tiempo finito, que equivale a multiplicar por un pulso y convolucionar el espectro con un sinc.
¿Cuándo no hay fuga con ventana rectangular?
Cuando en la ventana entra un número entero de ciclos: los ceros del sinc caen sobre las demás rayas.
¿Qué se gana y qué se pierde con una ventana?
Se gana en lóbulos laterales bajos y se pierde resolución: el lóbulo principal se ensancha.
¿Qué ventana conviene para medir el nivel de un tono?
La flat-top: su error de amplitud es mínimo, aunque su resolución sea mala.
¿Cuánto hay que observar para resolver 1 Hz?
Un segundo. La resolución es \( 1/T \), y no hay forma de esquivarlo.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer. Tratamiento de señales en tiempo discreto. 3.ª ed., Prentice Hall, 2011. El capítulo de análisis espectral con ventanas, con los números de cada una.
- Fredric J. Harris. On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the DFT. Proceedings of the IEEE, vol. 66, n.º 1, 1978. El artículo de referencia sobre ventanas. Todas las tablas que se siguen usando salen de acá.
- Keysight Technologies. Spectrum Analysis Basics · Application Note 150. Keysight, edición vigente. Cómo funciona un analizador real: ancho de banda de resolución, tiempo de barrido y detectores.