Representación de señales y sistemas
Cuatro maneras de describir lo mismo, y ninguna más verdadera que las otras. Cada problema se resuelve fácil desde una de ellas, y buena parte del oficio consiste en elegir desde dónde mirar.
01El mismo sistema, cuatro descripciones
Un sistema LTI se puede describir de cuatro maneras distintas, y las cuatro dicen exactamente lo mismo. No son alternativas entre las que haya que elegir: son puntos de vista, y cada problema se resuelve más fácil desde uno de ellos.
| Representación | Forma | Buena para |
|---|---|---|
| Ecuación diferencial | \( \sum a_k \dfrac{d^k y}{dt^k} = \sum b_k \dfrac{d^k x}{dt^k} \) | Salir del circuito: es lo que dan Kirchhoff y las leyes de los componentes |
| Respuesta al impulso | \( h(t) \), con \( y = x * h \) | Ver la respuesta temporal; se mide golpeando el sistema |
| Función de transferencia | \( H(s) = \dfrac{Y(s)}{X(s)} \) | Cascadas, estabilidad, diseño de filtros |
| Variables de estado | \( \dot{\mathbf{q}} = A\mathbf{q} + B x,\quad y = C\mathbf{q} + D x \) | Sistemas con varias entradas y salidas; simulación numérica |
El camino más frecuente en la práctica va de la primera a la tercera. Se plantea el circuito, se obtiene la ecuación diferencial, se transforma —con lo que las derivadas se vuelven potencias de \( s \)— y queda un cociente de polinomios que se analiza con polos y ceros.
02Las cuatro caras a la vez
Para que la equivalencia no quede en una tabla, conviene ver las cuatro moverse juntas. El laboratorio toma un sistema de segundo orden —el más común en electrónica— y muestra qué le pasa a cada representación cuando se cambia un parámetro.
Movés los parámetros y cambian las cuatro descripciones al mismo tiempo: la ecuación, los polos, la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia.
03La versión discreta
Todo se repite con corchetes. La ecuación diferencial se vuelve una ecuación en diferencias, que además es directamente programable:
Y la función de transferencia se obtiene con el mismo truco, sólo que ahora el retardo de una muestra se vuelve \( z^{-1} \):
De la ecuación a \( H \): se transforma y se despeja. De \( H \) a la respuesta al impulso: se antitransforma, que con residuos es sumar un término por polo. De \( h \) a \( H \): se transforma. Y de \( H \) a las variables de estado: se elige un conjunto de variables —típicamente las tensiones de los capacitores y las corrientes de las bobinas— y se escriben sus derivadas. Ese último camino es el que usa cualquier simulador de circuitos por dentro.
04Las señales también tienen varias representaciones
| Representación | Cuándo sirve |
|---|---|
| \( x(t) \), la forma de onda | Ver amplitudes, tiempos, flancos |
| Serie de Fourier | Señales periódicas: qué armónicos tiene |
| Transformada de Fourier | Señales aisladas: qué ancho de banda ocupa |
| Transformada de Laplace | Transitorios y condiciones iniciales |
| Muestras \( x[n] \) | Todo lo que vaya a pasar por un procesador |
Que existan tantas no es un exceso: cada una hace visible algo que las demás esconden. La forma de onda no dice nada del ancho de banda, y el espectro no muestra si la señal recorta. Buena parte del oficio consiste en elegir desde dónde mirar.
05En el laboratorio
Para un RLC serie con salida en el capacitor, plantear la ecuación diferencial, obtener \( H(s) \), antitransformar para conseguir \( h(t) \) y escribir las ecuaciones de estado tomando \( v_C \) e \( i_L \) como variables. Verificar que las cuatro describen el mismo circuito.
Medir la respuesta al escalón del RLC, derivarla para obtener \( h(t) \), extraer \( \sigma \) y \( \omega \) de la envolvente y del período, y reconstruir \( H(s) \). Comparar con la calculada a partir de los componentes.
Discretizar el mismo filtro y programar su ecuación en diferencias en un microcontrolador. Comparar su respuesta al escalón con la del circuito analógico.
06Errores frecuentes
- Olvidar las condiciones iniciales nulas al reemplazar \( d/dt \) por \( s \). Con condiciones iniciales aparecen términos extra.
- Confundir \( H(s) \) con \( H(j\omega) \). La segunda es la primera evaluada sobre el eje imaginario.
- Creer que una representación es más «verdadera». Las cuatro describen el mismo sistema.
- Mezclar \( z^{-1} \) con \( s \). Uno es un retardo de una muestra; el otro, una derivada.
- Elegir mal las variables de estado. Conviene tomar las que guardan energía: tensiones de capacitores y corrientes de bobinas.
07Autoevaluación
¿Cuáles son las cuatro representaciones de un sistema LTI?
Ecuación diferencial, respuesta al impulso, función de transferencia y variables de estado.
¿Qué reemplaza a \( d/dt \) al transformar?
La variable \( s \), suponiendo condiciones iniciales nulas.
¿Qué representa \( z^{-1} \)?
Un retardo de una muestra. Es el elemento de memoria de cualquier filtro digital.
¿Cómo se pasa de \( H(s) \) a \( h(t) \)?
Antitransformando, que con residuos es sumar un término exponencial por polo.
¿Qué conviene tomar como variables de estado en un circuito?
Las que guardan energía: tensiones de capacitores y corrientes de bobinas.
¿Por qué existen tantas representaciones de una señal?
Porque cada una hace visible algo que las otras esconden: la forma de onda no muestra el ancho de banda, y el espectro no muestra si recorta.
08Para ampliar
- Alan V. Oppenheim y Alan S. Willsky. Señales y sistemas. 2.ª ed., Prentice Hall, 1998. Las representaciones y el paso de una a otra, con ejemplos en los dos dominios.
- Katsuhiko Ogata. Ingeniería de control moderna. 5.ª ed., Pearson, 2010. Variables de estado con todo detalle, y su relación con la función de transferencia.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 7.ª ed., McGraw-Hill, 2022. El camino del circuito a la ecuación diferencial, que es de donde arranca todo.