Análisis Matemático II · 120 h · Contenido 4 de 8

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Un circuito con un capacitor o una bobina no se describe con una ecuación algebraica sino con una diferencial. Resolverla es predecir cómo evoluciona en el tiempo.

Primer orden Segundo orden Régimen libre Forzado RLC

01Ecuaciones donde la incógnita es una función

Una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Su incógnita no es un número: es la función entera. Aparecen apenas algo cambia en el tiempo, y en electrónica aparecen en cuanto hay un capacitor o una bobina, porque sus leyes ya son derivadas.

R C \frac{d v_{C}}{d t} + v_{C} = E L C \frac{d^{2} v_{C}}{d t^{2}} + R C \frac{d v_{C}}{d t} + v_{C} = E

A la izquierda, un circuito RC: ecuación de primer orden. A la derecha, un RLC serie: de segundo orden. Las dos salen de aplicar Kirchhoff con v = L·di/dt e i = C·dv/dt.

El orden es el de la derivada más alta, y coincide con la cantidad de elementos que almacenan energía: un capacitor, primer orden; un capacitor y una bobina, segundo orden. La solución general tiene tantas constantes como el orden, y esas constantes se fijan con las condiciones iniciales, que son la tensión del capacitor y la corriente de la bobina en t = 0: precisamente las magnitudes que no pueden dar saltos.

02Primer orden

Variables separables

Si la ecuación se puede escribir como g(y)dy = f(x)dx, se integran los dos lados y listo. Es el método más directo y resuelve la descarga de un capacitor:

Descarga de un capacitor

RC·dv/dt + v = 0 se separa como dv/v = −dt/(RC). Integrando: ln v = −t/(RC) + k, y por lo tanto v(t) = V₀·e^−t/RC.

La constante τ = RC es el tiempo característico: en τ queda el 37 % del valor inicial, y a las cinco constantes, menos del 1 %.

Lineales de primer orden

y^{'} + p (x) y = q (x) ⟹ μ = e^{\int p d x} y = \frac{1}{μ} (\int μ q d x + C)

El factor integrante μ convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto, y entonces se integra directo.

Con este método sale la carga del capacitor con fuente constante, y también con fuente variable, que es el caso que no se puede resolver «de memoria».

03Segundo orden: la ecuación característica

Para a·y″ + b·y′ + c·y = 0 se propone y = e^st. Reemplazando queda el polinomio a·s² + b·s + c = 0, la ecuación característica, y todo depende de sus raíces:

Raíces	Solución	En un circuito RLC
Reales distintas s₁ ≠ s₂	C₁e^s₁t + C₂e^s₂t	Sobreamortiguado: llega sin oscilar, pero lento
Real doble s	(C₁ + C₂t)·e^st	Amortiguamiento crítico: lo más rápido posible sin oscilar
Complejas α ± jω_d	e^αt(C₁cos ω_dt + C₂sen ω_dt)	Subamortiguado: oscila y se apaga

Esas raíces son los polos del circuito, y son los mismos autovalores de la matriz del sistema escrito en variables de estado. Si la parte real es negativa, la respuesta se apaga y el circuito es estable; si fuera positiva, crecería sin límite.

ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{L C}} α = \frac{R}{2 L} ζ = \frac{α}{ω_{0}} ω_{d} = \sqrt{ω_{0}^{2} - α^{2}}

ω₀ es la frecuencia natural, α el amortiguamiento y ζ el factor de amortiguamiento: ζ < 1 oscila, ζ = 1 es crítico y ζ > 1 sobreamortiguado.

04El RLC, en vivo

Cambiá los componentes y mirá qué pasa con las raíces y con la respuesta. Es el mismo circuito que aparece en todo transitorio y en todo sistema de control de segundo orden.

Laboratorio · respuesta al escalón de un RLC serie

R 60 Ω L 10 mH C 10 nF

05Respuesta libre y respuesta forzada

Con fuente, la solución se arma en dos partes:

y = y_{h} + y_{p}

y_h es la solución de la homogénea —el transitorio, que se apaga— e y_p una solución particular: el régimen permanente, que queda.

Para hallar y_p con fuentes típicas se propone una función del mismo tipo: constante para una fuente continua, senoidal de la misma frecuencia para una senoidal, polinomio para una rampa. Ese es el método de los coeficientes indeterminados, y su versión para senoidales es, en el fondo, el cálculo fasorial de corriente alterna: en régimen permanente todo se reduce a números complejos porque la parte transitoria ya se apagó.

Resonancia

Si la fuente excita justo a la frecuencia natural y el amortiguamiento es chico, la solución particular crece: es la resonancia. En un circuito sintonizado se busca; en una estructura mecánica se evita. La matemática es la misma.

06La misma ecuación, muchos sistemas

Sistema	Ecuación	Analogía
RLC serie	L·q″ + R·q′ + q/C = E	—
Masa, resorte y amortiguador	m·x″ + b·x′ + k·x = F	L ↔ masa, R ↔ rozamiento, 1/C ↔ constante del resorte
Servomotor con realimentación	J·θ″ + b·θ′ + k·θ = τ	Mismo comportamiento: sobrepico, tiempo de establecimiento
Enfriamiento de un componente	C_t·T′ + (T − T_amb)/R_t = P	Primer orden: la resistencia y la capacidad térmicas

Que todos compartan la ecuación explica por qué un ingeniero electrónico puede razonar sobre un sistema mecánico: cambian las unidades, no la matemática. Por eso también el diseño de un lazo de control se hace con los mismos parámetros ζ y ω₀, como se ve en control PID.

07En el laboratorio

Práctica 1 · Los tres regímenes, medidos

Armar un RLC serie con L = 10 mH y C = 10 nF y excitarlo con una onda cuadrada de baja frecuencia. Probar con R de 100 Ω, 2 kΩ y 10 kΩ y registrar las tres respuestas. Comparar la frecuencia de oscilación medida con ω_d calculada.

Práctica 2 · De la medición a la ecuación

A partir de una respuesta subamortiguada capturada, medir el sobrepico y el período de la oscilación, y de ahí despejar ζ y ω₀. Comparar con los valores calculados a partir de R, L y C.

Práctica 3 · Primer orden y constante de tiempo

Medir la carga de un RC y verificar el 63 % en t = τ. Después poner dos RC en cascada y observar que la respuesta ya no es exponencial simple: pasó a ser de segundo orden.

08Errores frecuentes

Olvidar la constante de integración, que es la condición inicial del circuito.
Confundir la solución general con la particular: sin condiciones iniciales el problema no está resuelto.
Usar mal las condiciones iniciales: son v_C(0) e i_L(0), no la corriente del capacitor ni la tensión de la bobina, que sí pueden saltar.
Creer que un circuito de segundo orden siempre oscila: con ζ ≥ 1 no oscila nunca.
Mezclar unidades en ω₀ = 1/√(LC): L en henry y C en farad.
Descartar el transitorio en aplicaciones donde justamente importa: conmutación, arranque de motores, protección.

09Autoevaluación

Resolver v′ + v/τ = 0 con v(0) = V₀.

v(t) = V₀·e^−t/τ.

¿Cuál es el orden de la ecuación de un circuito con dos capacitores y una bobina?

Tercero: hay tres elementos que almacenan energía (si son independientes entre sí).

Para L = 10 mH y C = 10 nF, ¿cuánto vale ω₀ y en qué frecuencia está?

ω₀ = 1/√(10⁻²·10⁻⁸) = 10⁵ rad/s, o sea f₀ = ω₀/2π ≈ 15,9 kHz.

¿Qué R hace crítico ese circuito?

α = ω₀ → R = 2L·ω₀ = 2·0,01·10⁵ = 2000 Ω.

Si las raíces son −100 ± j3000, ¿cómo es la respuesta?

Subamortiguada: oscila a 3000 rad/s con envolvente e^−100t, que decae con constante de tiempo de 10 ms. Es estable.

¿Por qué el cálculo fasorial equivale a buscar la solución particular?

Porque el fasor describe el régimen permanente senoidal: la parte homogénea, el transitorio, ya se apagó.

10Para ampliar

Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 9.ª ed., Cengage Learning, 2009. El más usado: métodos de primer y segundo orden con aplicaciones a circuitos y sistemas mecánicos.
William E. Boyce y Richard C. DiPrima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. 5.ª ed., Limusa Wiley. Más teórico, con buen tratamiento de existencia y unicidad.
Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2013. Los capítulos de transitorios de primer y segundo orden, con decenas de circuitos resueltos.

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