Análisis Matemático II · 120 h · Contenido 3 de 8

Cálculo diferencial de varias variables

Con varias variables, la derivada se vuelve un vector: el gradiente, que apunta hacia donde la función crece más rápido y es perpendicular a las curvas de nivel.

Derivadas parciales Gradiente Plano tangente Extremos Lagrange

01Derivadas parciales: mover una variable por vez

Con varias variables, «la» derivada no alcanza: hay que decir respecto de cuál. La derivada parcial se calcula dejando las demás fijas, como si fueran constantes:

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) -f (x, y)}{h} \] Geométricamente: se corta la superficie con el plano \(y = \text{cte}\) y se mide la pendiente de la curva que queda.

Lo que significa en el laboratorio

Una derivada parcial es una sensibilidad: cuánto cambia la salida por unidad de cambio en un componente, con los demás quietos. Si \(P = V^2/R\), entonces \(\partial P/\partial V = 2V/R\) y \(\partial P/\partial R = -V^2/R^2\). Duplicar la tensión cuadruplica la potencia; duplicar la resistencia la reduce a la mitad. Eso, que se sabe de memoria, es exactamente lo que dicen las dos parciales.

Las segundas derivadas incluyen las cruzadas, \(\partial^2 f/\partial x\,\partial y\). El teorema de Schwarz garantiza que, si son continuas, no importa el orden: \(\partial^2 f/\partial x\,\partial y = \partial^2 f/\partial y\,\partial x\).

02Plano tangente, diferencial y propagación de errores

Así como en una variable la recta tangente aproximaba la curva, acá el plano tangente aproxima la superficie:

\[ z = f (x_0, y_0) + f_x \cdot (x -x_0) + f_y \cdot (y -y_0) \quad d f = f_x d x + f_y d y \] El diferencial total \(df\) estima cuánto cambia \(f\) ante cambios chicos en las dos variables.

Ejemplo resuelto · incertidumbre de una medición

Se mide \(V = 10\text{ V} \pm 0{,}1\text{ V}\) y \(R = 100\ \Omega \pm 1\ \Omega\), y se calcula \(P = V^2/R = 1\text{ W}\).

\[ dP = \frac{2V}{R}\,dV + \left(-\frac{V^2}{R^2}\right)dR = 0{,}2\cdot(\pm 0{,}1) + (-0{,}01)\cdot(\pm 1) \]

En el peor caso los errores se suman en valor absoluto: \(|\Delta P| \le 0{,}02 + 0{,}01 = \mathbf{0{,}03\text{ W}}\), o sea un 3 %.

Es el mismo 3 % que da la regla práctica «error relativo de \(P\) = dos veces el de \(V\) más el de \(R\)»: \(2\cdot 1\,\% + 1\,\% = 3\,\%\). Esa regla sale del diferencial total.

03El gradiente

Las dos parciales juntas forman un vector que concentra toda la información sobre cómo cambia f:

\[ \nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \quad D_{\hat{u}} f = \nabla f \cdot \hat{u} = \left| \nabla f \right| \cos \theta \] La derivada direccional en la dirección û es la proyección del gradiente sobre ella: un producto escalar.

Las tres propiedades que hay que saber

1. El gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento, y su módulo es esa pendiente máxima.
2. Es perpendicular a las curvas de nivel. Por eso el campo eléctrico, que es \(-\nabla V\), cruza las equipotenciales en ángulo recto.
3. En un extremo local, el gradiente es nulo: es la versión en varias variables de \(f' = 0\).

Laboratorio · gradiente y derivada direccional

Tocá el mapa para elegir un punto y girá la flecha de dirección. La derivada direccional es máxima cuando la dirección coincide con el gradiente.

dirección 30°

04Regla de la cadena

Si las variables dependen a su vez de otra —por ejemplo, del tiempo— las contribuciones se suman:

\[ \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \quad = \; \nabla f \cdot {\vec{r}}' (t) \]

Es lo que pasa cuando un resistor cambia de valor mientras la tensión también varía: la potencia cambia por las dos causas a la vez, y la regla de la cadena las suma con el peso de cada sensibilidad.

05Extremos: libres y condicionados

Los candidatos a extremo son los puntos críticos, donde \(\nabla f = 0\). Para clasificarlos se usa el hessiano, que es la matriz de las segundas derivadas:

\[ H = \left[ \begin{array}{cc} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{x y} & f_{y y} \end{array} \right] \quad D = \det (H) \] \(D > 0\) y \(f_{xx} > 0\): mínimo. \(D > 0\) y \(f_{xx} < 0\): máximo. \(D < 0\): punto de silla. \(D = 0\): el criterio no decide.

Es la misma matriz simétrica de las formas cuadráticas, y el criterio es el del signo de sus autovalores, escrito con determinantes.

Multiplicadores de Lagrange

Cuando el máximo se busca sobre una restricción —optimizar con una condición \(g(x,y) = 0\)—, en el óptimo los gradientes son paralelos: \( abla f = \lambda abla g\). Se resuelve el sistema formado por esa igualdad y la restricción.

Es el método con el que se demuestra, por ejemplo, la máxima transferencia de potencia con restricción de disipación, o el diseño de mínimo costo que cumple una especificación.

06Para qué sirve en electrónica

Tolerancias y sensibilidad. \(\partial(\text{salida})/\partial(\text{componente})\) dice qué resistor conviene comprar al 1 % y cuál puede ser del 5 %. Es análisis de sensibilidad, y se calcula con parciales.
Campo y potencial. \(\vec{E} = -\nabla V\): el campo eléctrico es menos el gradiente del potencial. Toda la electrostática de Física II se apoya en esto.
Optimización de diseño. Máxima ganancia con consumo acotado, mínimo ruido con ancho de banda dado: son extremos condicionados.
Ajuste de modelos. Los métodos de cuadrados mínimos y el entrenamiento de redes neuronales buscan el mínimo de una función de muchas variables siguiendo el gradiente hacia abajo: eso es el descenso por gradiente.
Punto de máxima potencia. En un panel solar, la potencia depende de tensión y corriente; el seguidor MPPT sube por el gradiente hasta el máximo.

07En el laboratorio

Práctica 1 · Sensibilidad medida

Para un divisor resistivo, calcular \(\partial V_{\text{out}}/\partial R_1\) y \(\partial V_{\text{out}}/\partial R_2\). Después cambiar cada resistor por otro con 5 % de diferencia y verificar que el cambio medido coincide con el que predice el diferencial.

Práctica 2 · Propagación de errores

Medir tensión y corriente de una carga con sus incertidumbres y calcular la potencia con su error, usando el diferencial total. Comparar con el error que informa un vatímetro.

Práctica 3 · Seguir el gradiente

Con el laboratorio de la sección 3, elegir un punto y encontrar a mano la dirección de máximo crecimiento; verificar que coincide con el gradiente y que la derivada direccional es nula en la dirección perpendicular, que es la de la curva de nivel.

08Errores frecuentes

Derivar respecto de una variable sin dejar fijas las otras.
Creer que la existencia de las parciales implica continuidad. En varias variables no es así.
Olvidar normalizar la dirección al calcular la derivada direccional: û tiene que ser unitario.
Confundir gradiente nulo con extremo: también puede ser un punto de silla.
Usar el criterio del hessiano cuando \(D = 0\), donde no decide nada.
Sumar errores con signo al propagar incertidumbres: en el peor caso se suman los valores absolutos.

09Autoevaluación

Para \(f(x,y) = x^2y + 3y\), hallar las dos parciales.

\(f_x = 2xy\) y \(f_y = x^2 + 3\).

¿Qué dirección tiene el gradiente respecto de las curvas de nivel?

Es perpendicular a ellas, y apunta hacia los valores crecientes.

Clasificar el punto crítico de \(f(x,y) = x^2 - y^2\) en el origen.

\(f_{xx} = 2\), \(f_{yy} = -2\), \(f_{xy} = 0\), así que \(D = -4 < 0\): es un punto de silla.

Se mide \(I = 2\text{ A} \pm 2\,\%\) y \(R = 10\ \Omega \pm 1\,\%\). ¿Cuál es el error de \(P = I^2R\)?

El error relativo es \(2\cdot 2\,\% + 1\,\% = \mathbf{5\,\%}\), sobre \(P = 40\text{ W}\): \(\pm 2\text{ W}\).

¿Qué condición cumple un óptimo con restricción, según Lagrange?

Que los gradientes sean paralelos: \(\nabla f = \lambda\nabla g\), junto con la propia restricción \(g = 0\).

¿Por qué \(\vec{E} = -\nabla V\)?

Porque el campo apunta hacia donde el potencial decrece más rápido, y su módulo es esa máxima variación por unidad de longitud.

10Para ampliar

James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 14 cubre parciales, gradiente, plano tangente, extremos y Lagrange con muchas aplicaciones.
Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. Trata el gradiente con el cuidado que merece y lo conecta con los campos conservativos.
John R. Taylor. Introducción al análisis de errores. Reverté. La propagación de incertidumbres, que es la aplicación más inmediata del diferencial total en el laboratorio.

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