Formas cuadráticas y cónicas
La energía almacenada en un circuito, la potencia disipada y la elipse que dibuja una figura de Lissajous se escriben todas igual: como una forma cuadrática.
01Polinomios de segundo grado, escritos con una matriz
Una forma cuadrática es un polinomio homogéneo de segundo grado: todos sus términos tienen grado dos. En dos variables, q(x, y) = a x² + b xy + c y². Lo interesante es que se puede escribir con una matriz simétrica, repartiendo el término cruzado por mitades:
Escribirla así no es un capricho de notación: convierte una pregunta sobre un polinomio —¿es siempre positivo? ¿qué curva describe?— en una pregunta sobre una matriz, que ya se sabe responder.
02Las cónicas
Agregándole términos lineales y una constante se obtiene la ecuación general de segundo grado en dos variables, que describe todas las cónicas: las curvas que salen de cortar un cono con un plano.
| Indicador B² − 4AC | Cónica | Forma canónica | Dónde aparece |
|---|---|---|---|
| < 0, con A = C y B = 0 | Circunferencia | x² + y² = r² | Lugar de módulo constante; el círculo de |Γ| de la carta de Smith |
| < 0 | Elipse | x²/a² + y²/b² = 1 | Figura de Lissajous de dos señales en cuadratura; órbitas |
| = 0 | Parábola | y² = 4px | Antena parabólica, tiro oblicuo, potencia en función de la corriente |
| > 0 | Hipérbola | x²/a² − y²/b² = 1 | Curva de potencia constante v·i = P; localización por diferencia de tiempos |
El indicador B² − 4AC no cambia al rotar los ejes: por eso sirve para clasificar sin resolver nada. Los casos límite —dos rectas, un punto, nada— se llaman cónicas degeneradas y aparecen cuando el plano pasa por el vértice del cono.
03El término cruzado es una rotación
Si B ≠ 0, la cónica está girada respecto de los ejes coordenados. Siempre se puede elegir un par de ejes nuevos, rotados un ángulo θ, en los que el término cruzado desaparece:
Toda matriz simétrica se puede diagonalizar con una matriz de rotación. En los ejes nuevos la forma cuadrática queda sin términos cruzados y sus coeficientes son los autovalores: q = λ₁ x′² + λ₂ y′². Eso es todo lo que hace falta para clasificarla, y es el mismo resultado que en mecánica da los ejes principales de inercia y en estadística, las componentes principales. Se desarrolla en autovalores y autovectores.
04Clasificación por el signo
Una forma cuadrática se clasifica según qué signo puede tomar:
| Clase | Condición sobre q(X) con X ≠ 0 | Autovalores | Menores principales |
|---|---|---|---|
| Definida positiva | q > 0 siempre | Todos positivos | Todos positivos |
| Definida negativa | q < 0 siempre | Todos negativos | Alternan: −, +, −… |
| Semidefinida | q ≥ 0 (o ≤ 0), con algún X ≠ 0 donde vale 0 | Alguno nulo | Alguno nulo |
| Indefinida | Toma valores de los dos signos | De los dos signos | No cumple los patrones anteriores |
El criterio de Sylvester permite decidirlo sin calcular autovalores: para 2 × 2, la forma es definida positiva si a > 0 y det(A) > 0.
q = 2x² + 2xy + 3y² tiene matriz [[2, 1], [1, 3]]: a = 2 > 0 y det = 6 − 1 = 5 > 0, así que es definida positiva. Nunca es negativa, y vale cero sólo en el origen. Sus autovalores son (5 ± √5)/2 ≈ 3,62 y 1,38, los dos positivos, como tenía que ser.
05Verlo
Cambiá los coeficientes y mirá qué curva aparece, qué dice el indicador y qué pasa con los autovalores y el ángulo de rotación.
06Formas cuadráticas en ingeniería
- Energía. La energía almacenada en una bobina y un capacitor es E = ½L i² + ½C v²: una forma cuadrática definida positiva en las variables de estado. Que sea definida positiva es lo que garantiza que la energía no puede ser negativa, y es la base del criterio de estabilidad de Lyapunov en sistemas de control.
- Potencia disipada. P = i² R, y en una red con varias corrientes, P = IᵀRI. Que sea definida positiva equivale a decir que una red pasiva no puede entregar energía.
- Figuras de Lissajous. Dos señales senoidales de la misma frecuencia dibujan en el osciloscopio en modo XY una elipse cuya inclinación y achatamiento dan el desfasaje. Es una cónica, y el término cruzado es justamente el desfasaje. Se puede probar en el simulador de instrumental.
- Cuadrados mínimos. El error de un ajuste es una forma cuadrática en los parámetros; el mínimo existe y es único precisamente porque es definida positiva.
En tres variables, el mismo planteo da las cuádricas: elipsoides, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elíptico e hiperbólico —la «silla de montar»— y conos. La clasificación vuelve a salir de los signos de los tres autovalores.
07En el laboratorio
Para 5x² + 4xy + 5y² = 9: escribir la matriz, calcular el indicador y los autovalores, hallar el ángulo de rotación y escribir la ecuación en los ejes nuevos. Verificar con el laboratorio de arriba.
Con dos generadores de la misma frecuencia en modo XY, variar el desfasaje de 0° a 90° y registrar cómo pasa la figura de una recta a una elipse y a una circunferencia. Relacionar cada caso con el valor del término cruzado B.
Escribir la energía de un circuito LC como forma cuadrática en (i, v), verificar con el criterio de Sylvester que es definida positiva y discutir qué significaría que no lo fuera.
08Errores frecuentes
- Poner B entero fuera de la diagonal en lugar de B/2: la matriz tiene que quedar simétrica y el producto XᵀAX lo suma dos veces.
- Clasificar mirando sólo A y C sin considerar el término cruzado.
- Confundir el indicador con el determinante: B² − 4AC es −4·det(A), así que los signos van al revés.
- Olvidar que la rotación no cambia el tipo de cónica, sólo su orientación.
- Dar por definida positiva una forma con det > 0 y a < 0: eso es definida negativa.
09Autoevaluación
¿Qué matriz corresponde a q = 3x² − 4xy + y²?
[[3, −2], [−2, 1]]: el coeficiente cruzado va por mitades.
Clasificar la cónica 4x² + y² − 16 = 0.
B² − 4AC = 0 − 16 = −16 < 0 y A ≠ C: es una elipse, con semiejes 2 en x y 4 en y.
¿Es definida positiva q = x² + 4xy + y²?
No. La matriz es [[1, 2], [2, 1]], con det = 1 − 4 = −3 < 0: los autovalores son 3 y −1, de distinto signo, así que la forma es indefinida. Por ejemplo q(1, −1) = −2.
¿Qué ángulo de rotación elimina el término cruzado en x² + 2xy + y²?
Como A = C, el ángulo es 45°. La cónica es degenerada: (x + y)² = 0 es una recta doble.
¿Por qué la energía de un circuito pasivo es una forma definida positiva?
Porque nunca es negativa y sólo vale cero cuando todas las corrientes y tensiones son nulas. Si pudiera ser negativa, el circuito entregaría energía sin fuente.
10Para ampliar
- Charles H. Lehmann. Geometría analítica. Limusa. Las cónicas en detalle: propiedades focales, rotación y traslación de ejes.
- Howard Anton. Introducción al álgebra lineal. 5.ª ed., Limusa Wiley, 2011. El capítulo de formas cuadráticas con el teorema de los ejes principales y el criterio de Sylvester.
- Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. Relaciona las matrices definidas positivas con mínimos, energía y estabilidad.