Espacios vectoriales
Las señales, los polinomios y las matrices se suman y se escalan con las mismas reglas que las flechas del plano. Esa estructura común es lo que se estudia acá.
01La misma estructura en cosas muy distintas
Las flechas del plano se suman y se multiplican por números. Las matrices de 2 × 3, también. Y los polinomios de grado menor o igual que 3. Y las señales de tensión en función del tiempo. En los cuatro casos valen las mismas reglas, así que conviene estudiarlas una sola vez: eso es un espacio vectorial.
Formalmente, un conjunto V con una suma y un producto por escalares es un espacio vectorial si la suma es conmutativa y asociativa, tiene neutro (el vector nulo) y opuesto, y el producto por escalares es asociativo, tiene al 1 como neutro y distribuye respecto de las dos sumas. Son ocho axiomas, y todos se verifican en los ejemplos de arriba.
Todo lo que se demuestre con los ocho axiomas vale automáticamente para flechas, matrices, polinomios y señales. Cuando más adelante se diga que una señal periódica es una combinación lineal de senos y cosenos —la serie de Fourier—, se estará usando exactamente este lenguaje: una base de un espacio de funciones.
| Espacio | Sus «vectores» | Dimensión |
|---|---|---|
| R² · R³ · Rn | Pares, ternas, n-uplas de números | 2 · 3 · n |
| M2×3 | Matrices de 2 filas y 3 columnas | 6 |
| P3 | Polinomios de grado ≤ 3 | 4 |
| C[a, b] | Funciones continuas en un intervalo | Infinita |
| Soluciones de A·x = 0 | Los vectores que anula A | n − rg(A) |
02Subespacios
Un subespacio es un subconjunto que, con las mismas operaciones, vuelve a ser un espacio vectorial. No hace falta verificar los ocho axiomas: alcanza con tres condiciones.
S ⊆ V es subespacio si contiene al vector nulo, si la suma de dos elementos de S sigue en S y si el producto por un escalar de un elemento de S sigue en S.
Por eso una recta que pasa por el origen es un subespacio de R², y una que no pasa por el origen, no: no contiene al vector nulo. Lo mismo con los planos en R³.
El ejemplo más importante para la ingeniería: el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo A·x = 0 siempre es un subespacio, llamado núcleo o espacio nulo de A. Su dimensión es n − rg(A), y eso es exactamente la cantidad de parámetros libres que aparecían en sistemas de ecuaciones lineales.
03Combinaciones lineales y generadores
Una combinación lineal de v₁, …, vk es cualquier expresión a₁v₁ + a₂v₂ + … + akvk. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles se llama espacio generado y se escribe gen{v₁, …, vk}: es siempre un subespacio, el más chico que contiene a esos vectores.
En R², un vector no nulo genera una recta; dos vectores no paralelos generan todo el plano; tres vectores generan el plano igual, pero uno está de más.
04Dependencia e independencia lineal
Dicho sin fórmulas: son dependientes cuando alguno se puede escribir en función de los demás, o sea cuando sobra información. Para decidirlo se arma la matriz con los vectores como filas y se calcula el rango: si es igual a la cantidad de vectores, son independientes. Con n vectores de Rn alcanza el determinante: independientes si y sólo si es distinto de cero.
05Base y dimensión
Una base es un conjunto de vectores que es generador e independiente a la vez: los justos y necesarios. Todas las bases de un mismo espacio tienen la misma cantidad de elementos, y ese número es la dimensión.
- La base canónica de R³ es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, o sea {î, ĵ, k̂}.
- La de P₃ es {1, x, x², x³}: cuatro elementos, dimensión 4.
- En un espacio de dimensión n, cualquier conjunto de n vectores independientes es base, y cualquier conjunto de más de n vectores es necesariamente dependiente.
Que exista una base es lo que permite trabajar con coordenadas: fijada una base, cada vector se escribe de una única manera como combinación lineal de ella, y esa lista de coeficientes lo identifica.
Arrastrá los dos vectores de la base y el punto objetivo. La grilla oblicua es la que genera esa base.
06Cambio de base
Las coordenadas de un vector dependen de la base elegida: el vector es el mismo, lo que cambia es cómo se lo mide. Si B = {b₁, b₂} es una base de R² y P es la matriz que tiene a b₁ y b₂ como columnas, entonces:
Cambiar de base es el paso clave de muchos métodos: elegir la base «correcta» convierte un problema enredado en uno simple. La diagonalización de autovalores y autovectores es precisamente eso: buscar la base en la que una transformación se reduce a estirar cada eje.
07Bases ortogonales y señales
Cuando el espacio tiene definido un producto interno —la generalización del producto escalar— se puede hablar de módulos, ángulos y perpendicularidad. Una base ortogonal es aquella en la que todos los vectores son perpendiculares entre sí, y es muchísimo más cómoda: cada coordenada se calcula por separado, proyectando, sin resolver ningún sistema.
En el espacio de las señales periódicas, el producto interno entre dos señales es la integral de su producto en un período. Con esa definición, los senos y cosenos de las distintas armónicas resultan ortogonales entre sí y forman una base. Los coeficientes de Fourier de una señal son sus coordenadas en esa base, y por eso se calculan uno por uno con una integral: es exactamente la proyección. El espectro que muestra un analizador no es otra cosa que esa lista de coordenadas. Se ve en señales y Fourier y en el simulador de instrumental.
08En el laboratorio
Para cada conjunto, decidir si es subespacio de R³ y justificar con el criterio: los vectores con x + y + z = 0; los que cumplen x + y + z = 1; los de primera componente positiva; las soluciones de un sistema homogéneo elegido por uno mismo.
Resolver un sistema homogéneo 3 × 4, escribir la solución general con parámetros y extraer de ahí una base del espacio de soluciones. Verificar que su dimensión sea 4 − rg(A).
Con B = {(1, 1), (1, −1)}, hallar las coordenadas de (5, 1) resolviendo el sistema y verificar con P−1. Comprobar el resultado con el laboratorio de la sección 5.
09Errores frecuentes
- Llamar subespacio a una recta que no pasa por el origen. Sin el vector nulo, no lo es.
- Confundir generador con base: un generador puede tener vectores de sobra.
- Creer que cuatro vectores de R³ pueden ser independientes. En dimensión 3, cuatro siempre son dependientes.
- Olvidar que las coordenadas dependen de la base y comparar coordenadas de bases distintas.
- Armar la matriz de cambio de base con los vectores como filas en lugar de columnas.
10Autoevaluación
¿Es subespacio de R² el conjunto de los (x, y) con y = 2x?
Sí: contiene al (0,0), la suma de dos de sus elementos vuelve a cumplirlo y también el producto por un escalar. Es la recta por el origen de pendiente 2.
¿Son independientes (1, 2), (2, 4) y (0, 1)?
No: el segundo es el doble del primero. Además, tres vectores de R² nunca pueden ser independientes.
¿Cuál es la dimensión del espacio de las matrices 3 × 3 simétricas?
6: los tres de la diagonal más los tres de arriba de ella, porque los de abajo quedan determinados por simetría.
Si A es 5 × 7 con rango 4, ¿cuál es la dimensión del espacio de soluciones de A·x = 0?
7 − 4 = 3.
Coordenadas de (5, 1) en la base {(1, 1), (1, −1)}.
a(1,1) + b(1,−1) = (5,1) da a + b = 5 y a − b = 1: a = 3 y b = 2. Las coordenadas son (3, 2).
¿Por qué se dice que Fourier es un cambio de base?
Porque escribe una señal como combinación lineal de una base ortogonal de senos y cosenos; sus coeficientes son las coordenadas de la señal en esa base.
11Para ampliar
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Espacios y subespacios con los ejemplos de matrices, polinomios y funciones bien desarrollados.
- David C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5.ª ed., Pearson, 2016. Muy claro con base, dimensión, coordenadas y cambio de base.
- Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. Los cuatro subespacios fundamentales de una matriz, y la conexión con Fourier.