Sistemas de ecuaciones lineales
Resolver un circuito de tres mallas, ajustar una curva de calibración o simular una red entera son el mismo problema: A·x = b. Lo que cambia es el tamaño.
01De dónde salen los sistemas lineales
Casi todo problema de ingeniería termina, en algún punto, en un sistema de ecuaciones lineales. Las leyes de Kirchhoff aplicadas a un circuito de n mallas dan n ecuaciones con n corrientes incógnitas. Un reticulado, un balance de materia, el ajuste por cuadrados mínimos de una curva de calibración y la simulación de cualquier circuito en SPICE son, por debajo, lo mismo: A·x = b.
Todo el sistema se guarda en la matriz ampliada [A | b]: los coeficientes y, separada por una raya, la columna de términos independientes. Trabajar con ella es trabajar con el sistema.
02Tres finales posibles, y cómo saber cuál antes de resolver
Una única solución. En dos incógnitas, dos rectas que se cortan en un punto.
Infinitas soluciones, con uno o más parámetros libres. Dos rectas coincidentes.
Ninguna solución: las ecuaciones se contradicen. Dos rectas paralelas distintas.
El teorema de Rouché-Frobenius decide cuál es el caso comparando el rango de A con el de la matriz ampliada:
| Condición | Sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| rg(A) = rg(A|b) = n | Compatible determinado | Una |
| rg(A) = rg(A|b) < n | Compatible indeterminado | Infinitas, con n − rg parámetros libres |
| rg(A) < rg(A|b) | Incompatible | Ninguna |
Traducido: si al escalonar aparece una fila de ceros en A pero con término independiente distinto de cero —del tipo «0 = 5»— el sistema no tiene solución. Si la fila queda de ceros completa, esa ecuación era redundante y sobran incógnitas: hay infinitas soluciones.
03El método de Gauss, paso a paso
La idea es simplísima: las operaciones elementales de fila —intercambiar dos, multiplicar una por un número distinto de cero, sumarle a una un múltiplo de otra— no cambian el conjunto de soluciones. Se aplican hasta que el sistema quede triangular (Gauss) o hasta que cada incógnita quede sola (Gauss-Jordan).
Editá los coeficientes y la columna de la derecha. Cada paso muestra la operación que se hizo y cómo queda la matriz ampliada.
Si al llegar a una columna el elemento de la diagonal es cero, hay que intercambiar esa fila con otra de más abajo que no lo tenga. En una computadora se hace siempre algo más fuerte, el pivoteo parcial: se elige como pivote el elemento de mayor valor absoluto de la columna, aunque el de la diagonal no sea nulo, porque dividir por números chicos amplifica el error de redondeo.
04Qué se está haciendo, geométricamente
Cada ecuación con dos incógnitas es una recta del plano; con tres, un plano del espacio. Resolver el sistema es buscar los puntos que pertenecen a todas a la vez.
05Sistemas homogéneos
Si todos los términos independientes son cero, A·x = 0, el sistema es homogéneo. Nunca es incompatible: x = 0 siempre lo cumple, y a esa se la llama solución trivial. La pregunta interesante es si hay otras.
Un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas tiene soluciones distintas de la trivial si y sólo si det(A) = 0. Exactamente eso se plantea al buscar autovalores: se fuerza det(A − λI) = 0 para que el sistema (A − λI)·v = 0 tenga soluciones no triviales, que son los autovectores. Se ve en autovalores y autovectores.
En un circuito, el sistema homogéneo corresponde a apagar todas las fuentes: si además existe una solución no nula, el circuito puede sostener corrientes por sí mismo, que es lo que ocurre en un oscilador ideal o en un circuito LC sin pérdidas.
06Cuando la computadora resuelve
Un simulador de circuitos resuelve sistemas de miles de ecuaciones, muchas veces por análisis, y no usa Cramer ni la inversa. Usa factorización LU, que es la eliminación de Gauss guardada en forma de dos matrices triangulares, y aprovecha que la matriz es rala: casi todos sus elementos son cero, porque cada nodo se conecta con unos pocos.
Un sistema puede tener solución única y aun así ser peligroso. Si dos ecuaciones son casi paralelas, un cambio mínimo en un dato mueve la solución muchísimo: el sistema está mal condicionado. Por ejemplo, con x + y = 2 y x + 1,001y = 2,001 la solución es (1; 1); si el segundo término independiente pasa a 2,002, la solución salta a (0; 2). En un circuito eso aparece, por ejemplo, con resistencias que difieren en muchos órdenes de magnitud, y es motivo de que una simulación no converja.
07Un circuito, de punta a punta
Tres mallas, fuentes de 12 V y 6 V, resistores de 4, 2, 6, 3 y 5 Ω. Las ecuaciones de Kirchhoff, con las corrientes de malla en sentido horario, quedan:
Ese es el ejemplo que trae cargado el laboratorio de la sección 3. Resolviéndolo se obtiene I₁ ≈ 2,06 A, I₂ ≈ 0,19 A e I₃ ≈ −0,68 A (exactamente 456/221, 42/221 y −150/221). El signo negativo de I₃ no es un error: significa que esa corriente circula al revés del sentido que se eligió al plantear, y eso es información, no un problema.
El mismo planteo, con impedancias complejas en lugar de resistencias, resuelve circuitos en régimen senoidal permanente; ahí los números son complejos pero el método es idéntico. Ese paso se ve en el estudio vectorial de la corriente alterna.
08En el laboratorio
Armar un circuito de tres mallas, plantear el sistema, resolverlo con el laboratorio de arriba y verificar las tres corrientes midiendo en una simulación. Comprobar que la suma de potencias entregadas por las fuentes iguala a la suma de las disipadas por los resistores.
Escribir un sistema de 3 × 3 compatible determinado. Modificar una sola fila para volverlo indeterminado, y después para volverlo incompatible. Justificar cada caso con los rangos.
Resolver [[1, 1], [1, 1.001]]·x = [2, 2.001] y después cambiar el segundo dato a 2.002. Comparar las soluciones y calcular el determinante: muy chico frente a los coeficientes. Es la señal de alarma.
09Errores frecuentes
- Operar entre columnas. Las operaciones elementales son de filas: cada fila es una ecuación. Mezclar columnas mezcla incógnitas.
- Olvidar el término independiente al aplicar una operación: la fila incluye la columna de la derecha.
- Dividir por un pivote nulo en lugar de intercambiar filas.
- Confundir «0 = 0» con «0 = 5»: la primera indica ecuación redundante, la segunda, sistema incompatible.
- Dar una sola solución cuando hay infinitas: si sobran incógnitas, la respuesta se expresa con parámetros.
- Interpretar mal un signo negativo en una corriente: indica el sentido real, no un error de cuentas.
10Autoevaluación
Un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas tiene rg(A) = 3 y rg(A|b) = 3. ¿Qué se puede decir?
Es compatible indeterminado, con 4 − 3 = 1 parámetro libre: infinitas soluciones que forman una recta.
Al escalonar queda la fila 0 0 0 | 7. ¿Qué significa?
Que el sistema es incompatible: esa fila dice 0 = 7.
¿Por qué un sistema homogéneo nunca es incompatible?
Porque x = 0 siempre lo satisface: los rangos de A y de la ampliada coinciden necesariamente.
Resolver 2x + y = 5, x − y = 1.
Sumando: 3x = 6, x = 2, y = 1. Verificación: 2·2 + 1 = 5 ✔ y 2 − 1 = 1 ✔.
¿Qué ventaja tiene Gauss sobre Cramer para 20 incógnitas?
El costo: Gauss es del orden de n³ operaciones y Cramer exige calcular 21 determinantes, que por cofactores crece como n!. Con n = 20 la diferencia es entre instantáneo e imposible.
¿Para qué sirve el pivoteo parcial si el pivote no es cero?
Para no dividir por números muy chicos, que amplifican el error de redondeo de la máquina.
11Para ampliar
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Sistemas, rango y Rouché-Frobenius con ejemplos aplicados a redes eléctricas.
- David C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5.ª ed., Pearson, 2016. Arranca el libro por los sistemas y la forma escalonada reducida: el orden más natural para esta materia.
- Richard L. Burden y J. Douglas Faires. Análisis numérico. 9.ª ed., Cengage Learning, 2011. Para el lado numérico: pivoteo, factorización LU, número de condición y errores de redondeo.
- Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Fundamentos de circuitos eléctricos. 5.ª ed., McGraw-Hill, 2013. De dónde salen estos sistemas: análisis de mallas y de nodos, con decenas de circuitos resueltos.