Determinantes
Un solo número resume si una matriz se puede invertir, si un sistema tiene solución única y cuánto agranda o achica las áreas la transformación asociada.
01Un número que dice si el sistema se sostiene
A cada matriz cuadrada se le puede asignar un número, su determinante, que resume una propiedad esencial: si vale cero, las filas son linealmente dependientes —alguna no aporta información nueva—, la matriz no tiene inversa y el sistema asociado o no tiene solución o tiene infinitas. Si no vale cero, todo lo contrario.
Algebraica: det(A) ≠ 0 equivale a que A sea inversible y a que su rango sea máximo.
Geométrica: su valor absoluto es el factor por el que la transformación asociada agranda áreas
(en el plano) o volúmenes (en el espacio); el signo dice si conserva o invierte la orientación.
Física: en un circuito, un determinante nulo significa que las ecuaciones de las mallas no son
independientes; casi siempre es señal de que el circuito está mal planteado.
02Cómo se calcula
Orden 2: la diferencia de los dos productos
Orden 3: la regla de Sarrus
Se repiten las dos primeras columnas a la derecha, se suman los tres productos de las diagonales que bajan hacia la derecha y se restan los tres de las que bajan hacia la izquierda.
Cualquier orden: desarrollo por cofactores
El menor complementario Mij es el determinante que queda al tachar la fila i y la columna j. El cofactor agrega el signo del tablero de ajedrez:
03Propiedades, que son atajos
| Si en la matriz… | el determinante… | Para qué sirve |
|---|---|---|
| se intercambian dos filas | cambia de signo | Ordenar la matriz sin perder el valor, llevando la cuenta de los cambios |
| se multiplica una fila por k | queda multiplicado por k | Sacar factores comunes. Ojo: det(kA) = kn·det(A) en orden n |
| se le suma a una fila un múltiplo de otra | no cambia | Es la operación con la que se triangulariza: la clave del cálculo eficiente |
| hay una fila de ceros | vale 0 | Detectar sistemas sin solución única sin hacer la cuenta |
| dos filas son iguales o proporcionales | vale 0 | Lo mismo |
| la matriz es triangular | es el producto de la diagonal | El camino barato: triangularizar y multiplicar |
Y dos propiedades globales: det(AT) = det(A) —todo lo dicho para filas vale para columnas— y det(A·B) = det(A)·det(B), de donde sale que det(A−1) = 1 / det(A).
det(A + B) ≠ det(A) + det(B), salvo casualidad. Se lleva bien con el producto, no con la suma.
04Verlo funcionar
La matriz de abajo se puede editar y operar. Cada operación de fila muestra qué le pasó al determinante, y el cálculo aparece por Sarrus y por cofactores a la vez.
Por la regla de Sarrus
Por cofactores de la primera fila
05Matriz adjunta, inversa y regla de Cramer
La matriz adjunta adj(A) se arma reemplazando cada elemento por su cofactor y trasponiendo. Con ella, la inversa tiene fórmula cerrada:
La regla de Cramer resuelve un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y determinante no nulo: cada incógnita es un cociente de determinantes, donde el de arriba se obtiene reemplazando la columna de esa incógnita por la columna de términos independientes.
Un circuito de dos mallas lleva a 6·I₁ − 2·I₂ = 10 y −2·I₁ + 8·I₂ = 0 (en volt y ohm).
det(A) = 6·8 − (−2)(−2) = 44. Reemplazando la primera columna: det(A₁) = 10·8 − (−2)·0 = 80, y la segunda: det(A₂) = 6·0 − 10·(−2) = 20.
I₁ = 80/44 = 1,82 A y I₂ = 20/44 = 0,45 A. Verificación en la segunda ecuación: −2(1,818) + 8(0,4545) = −3,64 + 3,64 = 0. ✔
Para n incógnitas hay que calcular n + 1 determinantes. Con n = 3 es cómodo y se hace a mano; con n = 20 es impracticable, y ahí se usa eliminación de Gauss, que cuesta del orden de n³ operaciones. Los programas de simulación de circuitos nunca usan Cramer.
06Qué significa geométricamente
Las columnas de una matriz 2 × 2 son dos vectores del plano. El determinante es, en valor absoluto, el área del paralelogramo que forman; en 3 × 3, el volumen del paralelepípedo de las tres columnas (el producto mixto).
Por eso det = 0 se lee como «la transformación aplasta el espacio»: pasa de dos dimensiones a una recta, o de tres a un plano. Y como aplastar pierde información, no hay manera de volver atrás: no hay inversa.
07Determinantes en electrónica
- Resolver mallas y nodos. Con dos o tres incógnitas, Cramer da el resultado sin despejar nada, y muestra de dónde sale cada término.
- El determinante característico. Al analizar un circuito con inductores y capacitores en el dominio de la frecuencia compleja, las raíces del determinante del sistema son los polos de la respuesta: dicen si el circuito oscila, si es estable y con qué frecuencia natural. Es la puerta de entrada a autovalores y autovectores.
- Cuadripolos. El determinante de la matriz de parámetros ABCD vale 1 para una red pasiva y recíproca: es una comprobación inmediata de que los parámetros están bien calculados.
- Estabilidad. El criterio de Routh-Hurwitz, que en sistemas de control decide si un lazo realimentado es estable, se escribe como una sucesión de determinantes que deben ser todos positivos.
08En el laboratorio
Para una matriz 3 × 3 con al menos un cero, calcular el determinante por Sarrus, por cofactores de la fila con el cero y triangularizando. Los tres tienen que dar lo mismo; anotar cuántas multiplicaciones hizo falta en cada caso.
Armar un circuito de tres mallas con valores propios, plantear el sistema, resolverlo por Cramer y verificar cada corriente con la ley de Kirchhoff de tensiones. Comparar después con una simulación.
En una matriz 3 × 3 donde un elemento sea el parámetro k, plantear det = 0 y despejar k. Interpretar: para ese valor el sistema deja de tener solución única. Es el mismo planteo con el que después se calculan los autovalores.
09Errores frecuentes
- Usar Sarrus en 4 × 4. No existe; hay que desarrollar por cofactores o triangularizar.
- Olvidar el signo del cofactor (−1)i+j, sobre todo en la posición (1,2).
- Creer que det(kA) = k·det(A): en orden n es kn·det(A), porque se multiplican las n filas.
- Calcular determinantes de matrices no cuadradas. No están definidos.
- Aplicar Cramer con determinante nulo: ahí el método no dice nada y hay que analizar el sistema con el rango.
- Perder el signo al intercambiar filas mientras se triangulariza.
10Autoevaluación
Calcular el determinante de [[2, 3], [4, 5]].
2·5 − 3·4 = 10 − 12 = −2.
Si det(A) = 5 con A de orden 3, ¿cuánto vale det(2A)?
2³ · 5 = 40: cada una de las tres filas quedó multiplicada por 2.
Una matriz 4 × 4 triangular superior tiene en la diagonal 2, −1, 3 y 5. ¿Su determinante?
El producto de la diagonal: 2·(−1)·3·5 = −30.
¿Qué le pasa al determinante si se le suma a la fila 3 el doble de la fila 1?
Nada: no cambia. Por eso esa operación es la que se usa para triangularizar.
Si det(A) = 0, ¿qué se puede afirmar del sistema A·x = b?
Que no tiene solución única: o no tiene ninguna, o tiene infinitas. Cuál de las dos lo decide comparar el rango de A con el de la matriz ampliada.
det(A) = 3 y det(B) = −2, con A y B de orden 3. ¿Cuánto vale det(A·B) y det(A−1)?
det(A·B) = 3·(−2) = −6 y det(A−1) = 1/3.
11Para ampliar
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. El capítulo de determinantes desarrolla las propiedades con demostraciones accesibles y muchos ejercicios.
- Howard Anton. Introducción al álgebra lineal. 5.ª ed., Limusa Wiley, 2011. Explica con cuidado el desarrollo por cofactores y la regla de Cramer, con aplicaciones a circuitos.
- Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. Su capítulo 4 es el que mejor conecta el determinante con el volumen y con el costo de calcularlo.