Autovalores y autovectores
En toda transformación hay direcciones privilegiadas que no se desvían, sólo se estiran. Encontrarlas es encontrar los modos propios de un sistema físico.
01Direcciones que no se desvían
Una transformación lineal, en general, mueve cada vector y le cambia la dirección. Pero casi siempre hay unas pocas direcciones privilegiadas en las que el vector no se desvía: sólo se estira, se acorta o se da vuelta. Esas direcciones son los autovectores, y el factor por el que se estiran, los autovalores.
También se los llama valores y vectores propios. La palabra viene del alemán eigen, que significa «propio»: son característicos de la transformación, no del sistema de coordenadas que se use para escribirla.
02Cómo se calculan
La condición A·v = λ·v se reescribe como (A − λI)·v = 0, que es un sistema homogéneo. Ese sistema tiene soluciones distintas de la trivial sólo si su determinante se anula:
Para 2 × 2 queda especialmente compacto, usando la traza (la suma de la diagonal) y el determinante:
Hallado cada λ, el autovector se obtiene resolviendo el sistema homogéneo (A − λI)·v = 0. La solución nunca es única: si v es autovector, cualquier múltiplo suyo también lo es. Lo que importa es la dirección, no el largo.
A = [[4, 1], [2, 3]]: tr = 7 y det = 12 − 2 = 10, así que λ² − 7λ + 10 = 0 y los autovalores son λ₁ = 5 y λ₂ = 2.
Para λ = 5: (A − 5I) = [[−1, 1], [2, −2]], y la ecuación −x + y = 0 da la dirección v₁ = (1, 1). Verificación: A·(1,1) = (5, 5) = 5·(1,1) ✔
Para λ = 2: [[2, 1], [2, 1]], y 2x + y = 0 da v₂ = (1, −2). Verificación: A·(1,−2) = (2, −4) = 2·(1,−2) ✔
La suma de los autovalores es la traza y su producto es el determinante. En el ejemplo: 5 + 2 = 7 ✔ y 5 · 2 = 10 ✔. Si no dan, hay un error de cuentas antes de seguir.
03Verlos
La circunferencia de vectores unitarios se transforma en una elipse. Las direcciones donde la flecha azul y la naranja quedan alineadas son los autovectores, y el cociente de largos es el autovalor.
04Diagonalización
Si una matriz de orden n tiene n autovectores linealmente independientes, se los puede usar como base. En esa base la transformación sólo estira cada eje: su matriz es diagonal, con los autovalores en la diagonal.
- Si los n autovalores son distintos, la matriz siempre es diagonalizable.
- Si alguno se repite, puede no serlo: la cizalla [[1, 1], [0, 1]] tiene λ = 1 doble y una sola dirección propia.
- Toda matriz simétrica con elementos reales es diagonalizable, sus autovalores son reales y sus autovectores, perpendiculares entre sí. Ese es el teorema que sostiene la reducción a ejes principales de formas cuadráticas.
- Los autovalores pueden ser complejos, y ahí no hay ninguna dirección real que se conserve: es lo que pasa con una rotación, y en un circuito significa oscilación.
05Qué representan en un sistema físico
Un circuito con inductores y capacitores se describe con un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, escrito en forma matricial como ẋ = A·x, donde x reúne las corrientes de las bobinas y las tensiones de los capacitores. La solución se arma con exponenciales eλt, y esos λ son los autovalores de A: los modos naturales del circuito, que son los mismos polos que aparecen en la respuesta en frecuencia.
| Autovalores de A | Comportamiento | Ejemplo |
|---|---|---|
| Reales negativos | Decaimiento exponencial sin oscilar: estable, sobreamortiguado | RC con resistencia grande |
| Complejos con parte real negativa | Oscilación que se apaga: estable, subamortiguado | RLC con poco amortiguamiento |
| Imaginarios puros | Oscilación que no se apaga | LC ideal, sin pérdidas |
| Con parte real positiva | Crece sin límite: inestable | Lazo realimentado mal compensado; un oscilador al arrancar |
De ahí que el criterio de estabilidad sea «todos los autovalores con parte real negativa». La misma idea reaparece en control, en las frecuencias de resonancia de una estructura mecánica, en los modos de una guía de onda y en las componentes principales de un conjunto de datos.
06En el laboratorio
Calcular autovalores y autovectores de [[2, 1], [1, 2]] y de [[0, 1], [−2, −3]]. Verificar en cada caso con la traza y el determinante, y comprobar A·v = λ·v reemplazando. Contrastar con el laboratorio.
Escribir ẋ = A·x para un circuito RLC serie con x = (iL, vC), calcular los autovalores para tres valores de R —sobreamortiguado, crítico y subamortiguado— y comparar con la forma de onda que se obtiene en una simulación.
Tomar un vector cualquiera y multiplicarlo repetidamente por A, normalizando cada vez. Observar que se alinea con el autovector del autovalor de mayor módulo. Es el botón «Iterar» del laboratorio, y es el algoritmo con el que Google ordenaba sus resultados.
07Errores frecuentes
- Buscar el autovector antes que el autovalor. Primero se resuelve det(A − λI) = 0.
- Restar λ sólo al primer elemento de la diagonal en lugar de a toda ella.
- Dar como autovector al vector nulo: está excluido por definición.
- Creer que el autovector es único: toda la recta que genera lo es.
- Suponer que toda matriz es diagonalizable. Con autovalores repetidos hay que verificar cuántos autovectores independientes hay.
- Descartar los autovalores complejos: justamente son los que describen las oscilaciones.
08Autoevaluación
Autovalores de [[3, 0], [0, −2]].
Es diagonal: 3 y −2, con autovectores î y ĵ.
Si tr(A) = 6 y det(A) = 8 en una matriz 2 × 2, ¿cuáles son sus autovalores?
λ² − 6λ + 8 = 0 → λ = 4 y λ = 2.
¿Qué significa un autovalor nulo?
Que la matriz es singular: hay una dirección que va a parar al origen, el núcleo no es trivial y det(A) = 0.
¿Por qué una rotación de 90° en el plano no tiene autovectores reales?
Porque ninguna dirección se conserva: todo vector gira. Sus autovalores son ±i, imaginarios puros, que es la firma de una oscilación pura.
Un circuito tiene autovalores −100 ± j2000 s−1. ¿Cómo responde?
Oscila a unos 2000 rad/s (318 Hz) con una envolvente que decae con constante de tiempo 1/100 = 10 ms: es estable y subamortiguado.
¿Para qué sirve diagonalizar?
Para trabajar en la base donde la transformación sólo estira cada eje: las potencias, las exponenciales de matrices y la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales se vuelven inmediatas.
09Para ampliar
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Autovalores, diagonalización y aplicaciones a sistemas de ecuaciones diferenciales.
- Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. El capítulo 5 conecta autovalores con estabilidad, potencias y exponencial de matrices.
- Norman S. Nise. Sistemas de control para ingeniería. 3.ª ed., CECSA, 2006. Dónde se usan en la práctica: variables de estado, polos y estabilidad de sistemas realimentados.