Transformaciones lineales
Una función que respeta la suma y el producto por escalares queda determinada por lo que le hace a una base, y eso cabe en una matriz.
01Funciones que respetan la estructura
Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que se lleva bien con las dos operaciones:
De la segunda condición, con k = 0, sale que T(0) = 0: toda transformación lineal manda el vector nulo al vector nulo. Eso descarta de entrada a f(x) = x + 1, que traslada, y a f(x) = x², que no respeta las escalas. Sí son lineales las rotaciones, los escalados, las reflexiones, las proyecciones, la derivada y la integral.
Un circuito formado por resistores, capacitores, inductores y fuentes controladas lineales es una transformación lineal de la entrada a la salida. Por eso vale la superposición: se apaga todo menos una fuente, se resuelve, y después se suman los resultados. Y por eso un circuito lineal excitado con una senoidal responde con una senoidal de la misma frecuencia: cambia la amplitud y la fase, no la forma.
02Toda transformación lineal cabe en una matriz
Si se sabe qué hace T con los vectores de una base, ya se sabe qué hace con cualquier vector: se lo escribe como combinación lineal de la base y se aplica la linealidad. Escribiendo las imágenes de la base como columnas se obtiene la matriz asociada:
La matriz depende de las bases elegidas. La misma transformación, vista en otra base, tiene otra matriz: son matrices semejantes, relacionadas por A′ = P−1AP. Elegir la base adecuada para que la matriz quede lo más simple posible es el objetivo de la diagonalización.
03Las transformaciones del plano, una por una
| Transformación | Matriz | det | Qué le hace al plano |
|---|---|---|---|
| Rotación de ángulo φ | [[cos φ, −sen φ], [sen φ, cos φ]] | 1 | Gira todo sin deformar; conserva áreas y ángulos |
| Escalado | [[k₁, 0], [0, k₂]] | k₁k₂ | Estira cada eje por separado |
| Reflexión sobre el eje x | [[1, 0], [0, −1]] | −1 | Espeja; el signo negativo indica que invierte la orientación |
| Cizalla | [[1, k], [0, 1]] | 1 | Desliza las capas horizontales; conserva el área pero deforma los ángulos |
| Proyección sobre el eje x | [[1, 0], [0, 0]] | 0 | Aplasta el plano sobre una recta: pierde una dimensión y no tiene inversa |
La figura clara es la original y la de color, su imagen. La grilla transformada muestra qué le pasa a todo el plano.
04Núcleo, imagen y el teorema de la dimensión
Los vectores que la transformación manda al cero: Nu(T) = {X : A·X = 0}. Es el espacio de soluciones del sistema homogéneo. Su dimensión se llama nulidad.
Todo lo que la transformación puede producir: Im(T) = {A·X}. Está generada por las columnas de A, y su dimensión es el rango.
La proyección del plano sobre el eje x tiene núcleo de dimensión 1 —todo el eje y se aplasta al origen— e imagen de dimensión 1: 1 + 1 = 2 ✔. Una transformación es inyectiva exactamente cuando su núcleo es sólo el vector nulo, y en ese caso, si además va de un espacio a otro de la misma dimensión, es un isomorfismo: tiene inversa, y la matriz de la inversa es A−1.
05Componer es multiplicar
Aplicar primero T y después S equivale a multiplicar las matrices, en el orden en que se aplican, de derecha a izquierda: la matriz de S ∘ T es AS · AT. Ahí está el origen de que el producto de matrices no sea conmutativo: rotar y después reflejar no da lo mismo que reflejar y después rotar.
Es exactamente lo que ocurre con dos etapas de un circuito en cascada, que se vio en matrices: cada etapa es una transformación lineal y conectarlas es componerlas.
06Dónde aparecen en electrónica
- Superposición. Es la linealidad, sin más. Sólo vale en circuitos lineales: un diodo o un transistor en gran señal rompen la propiedad, y por eso hay que linealizar alrededor de un punto de trabajo antes de usarla.
- Filtros. Un filtro es un operador lineal sobre señales. Su «matriz», en el dominio de la frecuencia, es la función de transferencia, que multiplica cada componente espectral.
- Transformada discreta de Fourier. La DFT de N puntos es, literalmente, multiplicar por una matriz de N × N cuyos elementos son raíces de la unidad. La FFT es el algoritmo que hace ese producto en N log N operaciones en lugar de N².
- Gráficos y CAD. Rotar, escalar y proyectar un modelo en pantalla son transformaciones lineales encadenadas: una sola matriz resume toda la cadena.
07En el laboratorio
Hallar la matriz de la transformación de R² que rota 90° y después duplica la componente x. Aplicarla a tres vectores y verificar con el laboratorio de arriba. Comprobar que componer en el orden inverso da otra matriz.
Para A = [[1, 2], [2, 4]], hallar el núcleo resolviendo A·X = 0, describir la imagen y verificar el teorema de la dimensión. Explicar qué le pasa a la grilla en el laboratorio con esa matriz.
En un circuito con dos fuentes, medir la tensión de salida con cada fuente por separado (la otra apagada: la de tensión en cortocircuito, la de corriente abierta) y después con las dos juntas. Comprobar que la suma coincide. Repetir agregando un diodo y explicar por qué deja de cumplirse.
08Errores frecuentes
- Creer que toda función «con fórmula sencilla» es lineal. f(x) = x + 1 no lo es: no manda el cero al cero.
- Armar la matriz con las imágenes de la base como filas en lugar de columnas.
- Invertir el orden al componer: la matriz de S ∘ T es AS·AT.
- Confundir núcleo con imagen, o sus dimensiones.
- Aplicar superposición a un circuito con elementos no lineales.
- Olvidar que la matriz depende de la base: dos matrices distintas pueden ser la misma transformación.
09Autoevaluación
¿Es lineal T(x, y) = (2x − y, 0)?
Sí. Su matriz es [[2, −1], [0, 0]]: cumple las dos condiciones y manda el cero al cero.
¿Cuál es la matriz de la rotación de 90° en sentido antihorario?
[[0, −1], [1, 0]]: manda î a (0,1) y ĵ a (−1,0).
Si A es 3 × 3 con rango 2, ¿cuál es la dimensión del núcleo?
3 − 2 = 1: una recta de vectores va a parar al origen.
¿Cuándo una transformación de Rn en Rn tiene inversa?
Cuando su núcleo es sólo el vector nulo, que equivale a det(A) ≠ 0 y a rango n.
¿Qué significa que el determinante de la matriz sea −1?
Que conserva las áreas pero invierte la orientación: hay una reflexión.
¿Por qué la superposición no vale con un transistor en conmutación?
Porque su comportamiento no es lineal: duplicar la entrada no duplica la salida, y la respuesta a la suma de dos entradas no es la suma de las respuestas.
10Para ampliar
- David C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5.ª ed., Pearson, 2016. Desarrolla las transformaciones lineales desde la matriz, con muchas figuras del plano transformado.
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Núcleo, imagen, teorema de la dimensión y matrices semejantes, con demostraciones completas.
- Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. El punto de vista de «la matriz es la transformación», y el capítulo sobre la transformada de Fourier como cambio de base.