Álgebra y Geometría Analítica · 120 h · Contenido 1 de 9

Matrices

Una matriz parece una tabla de números, pero es la forma más compacta de escribir un circuito entero, una rotación o el encadenamiento de dos etapas de un amplificador.

Producto de matrices Inversa Rango Matriz de admitancias Cuadripolos

01Una tabla que además opera

Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas. Hasta ahí es una tabla. Lo que la vuelve una herramienta es que sobre ese arreglo se definen operaciones —suma, producto, inversa— que representan cosas concretas: resolver un circuito, girar un vector, encadenar dos etapas de un amplificador.

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]

A es de orden m × n: m filas y n columnas. El elemento a_ij está en la fila i y la columna j, en ese orden.

El orden de los subíndices no es un capricho

Primero la fila, después la columna. Toda la notación que sigue —el producto, la traspuesta, el determinante— depende de respetarlo. Un error de subíndices no da un resultado raro: da un resultado distinto que parece razonable, que es peor.

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y coinciden elemento a elemento. No hay igualdad posible entre una de 2 × 3 y una de 3 × 2.

02Matrices con nombre propio

Nombre	Cómo es	Dónde aparece
Fila y columna	1 × n y m × 1	Un vector escrito como matriz. En electrónica, el vector de corrientes de malla
Cuadrada	m = n	Es la única que puede tener inversa, determinante y autovalores
Diagonal	a_ij = 0 si i ≠ j	Multiplicar por ella escala cada componente por separado
Identidad I	Diagonal con unos	El «1» del producto de matrices: A·I = I·A = A
Triangular	Ceros arriba o abajo de la diagonal	A esto se llega al hacer la eliminación de Gauss; su determinante es el producto de la diagonal
Traspuesta A^T	Se intercambian filas por columnas	(A·B)^T = B^T·A^T, con el orden dado vuelta
Simétrica	A = A^T	La matriz de impedancias de una red pasiva, por el teorema de reciprocidad
Nula	Todos ceros	El neutro de la suma. Ojo: A·B = 0 no obliga a que A o B sean nulas

03Suma y producto por un escalar

Las dos operaciones fáciles se hacen elemento a elemento, y exigen que las matrices tengan el mismo orden:

{(A+B)}_{i j} = a_{i j} + b_{i j} {(λA)}_{i j} = λ \cdot a_{i j}

La suma es conmutativa y asociativa, tiene neutro (la matriz nula) y opuesto (−A). El producto por escalar distribuye sobre las dos sumas.

Con esas propiedades, el conjunto de las matrices de un orden fijo es un espacio vectorial: la estructura que se estudia en detalle más adelante en esta misma materia.

04El producto: filas por columnas

Acá se rompe la intuición. El producto no es elemento a elemento. El elemento c_ij del producto es el producto escalar de la fila i de A por la columna j de B:

c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} \cdot b_{k j}

A de m × n por B de n × p da C de m × p. Las dimensiones del medio tienen que coincidir, y son las que desaparecen.

Tocá una celda del resultado y aparece la cuenta que la produjo:

Laboratorio · producto de matrices

Cambiá los números y las dimensiones. Al tocar una celda del resultado se muestra fila por columna.

A: × B: 3 ×

A

B

A · B

El producto no es conmutativo

En general A·B ≠ B·A, y muchas veces B·A ni siquiera se puede calcular. Probá el botón «Calcular B · A» en el laboratorio. Sí valen la asociatividad, A(BC) = (AB)C, y la distributividad, A(B + C) = AB + AC. Lo que no vale es cancelar: de AB = AC no se deduce B = C.

05La matriz inversa

Dividir matrices no existe. Lo que existe es la inversa: la matriz que deshace lo que hace A.

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I

Sólo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa. A esas se las llama regulares o no singulares.

Para 2 × 2 hay fórmula directa: se intercambian los de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide por el determinante.

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] ⟹ A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]

Para órdenes mayores se usa la eliminación de Gauss-Jordan: se escribe [A | I] y se hacen operaciones de fila hasta llegar a [I | A⁻¹]. El método aparece completo en el contenido de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo resuelto

Para A = [[2, 1], [5, 3]]: det = 2·3 − 1·5 = 1, entonces A⁻¹ = [[3, −1], [−5, 2]].

Comprobación: A·A⁻¹ = [[2·3 + 1·(−5), 2·(−1) + 1·2], [5·3 + 3·(−5), 5·(−1) + 3·2]] = [[1, 0], [0, 1]]. ✔

Dos propiedades que se usan todo el tiempo: (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹ —igual que al sacarse la ropa: primero lo último que se puso— y (A⁻¹)⁻¹ = A.

06Rango: cuánta información hay de verdad

El rango de una matriz es la cantidad de filas linealmente independientes, es decir, cuántas filas aportan información nueva. Se calcula llevando la matriz a la forma escalonada con operaciones elementales (intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo, sumarle a una fila un múltiplo de otra) y contando las filas que no quedaron nulas.

Una fila que no aportaba nada

En [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 0, 1]], la segunda fila es el doble de la primera. Al restarle 2 veces la primera queda nula: el rango es 2, no 3. Eso significa, por ejemplo, que el sistema de ecuaciones asociado tiene una ecuación de más, que no agrega ninguna condición.

El rango decide casi todo lo que viene: si un sistema tiene solución y cuántas, si una matriz es inversible (una matriz n × n lo es sólo si su rango es n) y cuál es la dimensión de la imagen de una transformación lineal.

07Para qué sirve esto en electrónica

Un circuito entero en una ecuación

El análisis nodal de una red de n nodos se escribe como Y · V = I, donde Y es la matriz de admitancias, V el vector de tensiones de nodo e I el de corrientes inyectadas. La matriz se arma casi sin pensar: en la diagonal, la suma de las admitancias que llegan a cada nodo; fuera de la diagonal, la admitancia entre los dos nodos, cambiada de signo. Resolver el circuito es resolver el sistema.

[\begin{matrix} G_{1} + G_{2} & - G_{2} \\ - G_{2} & G_{2} + G_{3} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{1} \\ V_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} I_{1} \\ I_{2} \end{matrix}]

La matriz de admitancias de una red pasiva es simétrica: Y₁₂ = Y₂₁. Es el teorema de reciprocidad escrito en forma de matriz.

Etapas en cascada: el producto es la conexión

Un cuadripolo —una etapa de amplificación, un filtro, un tramo de línea de transmisión— se describe con su matriz de parámetros ABCD, que relaciona la entrada con la salida. Y acá está lo elegante: conectar dos etapas en cascada es multiplicar sus matrices, en el orden en que la señal las recorre.

Por eso importa que el producto no sea conmutativo: intercambiar dos etapas de un circuito da otro circuito, con otra respuesta. El álgebra no es una analogía, es exactamente lo que pasa. Las líneas de transmisión que se describen así aparecen en la carta de Smith.

Hay más: la matriz de rotación gira un fasor un ángulo φ, las matrices de transición describen máquinas de estados y las tablas de verdad de un sistema digital son, a fin de cuentas, matrices de ceros y unos.

08En el laboratorio

Práctica 1 · Armar la matriz de un circuito

Para una red de tres nodos con cinco resistores a elección, escribir la matriz de admitancias, verificar que sea simétrica y que la suma de cada fila dé la admitancia hacia el nodo de referencia. Resolver V = Y⁻¹·I con una calculadora o con Octave, y comprobar con una simulación en LTspice.

Práctica 2 · Comprobar que no conmuta

Con dos matrices 2 × 2 cualesquiera, calcular A·B y B·A a mano y verificar que dan distinto. Buscar después dos matrices que sí conmuten (por ejemplo, dos diagonales) y explicar por qué.

Práctica 3 · Con software

En GNU Octave o Python con NumPy: crear matrices, multiplicarlas, invertirlas y medir cuánto tarda invertir una de 500 × 500. Comparar A*B (producto matricial) con A.*B (elemento a elemento) para no confundirlos nunca más.

09Errores frecuentes

Multiplicar elemento a elemento. Eso es otra operación (el producto de Hadamard), y no sirve para resolver sistemas.
No verificar las dimensiones antes de multiplicar: si las del medio no coinciden, el producto no existe.
Invertir el orden en (A·B)^T o (A·B)⁻¹.
Cancelar como con números: de A·B = A·C no se sigue B = C, salvo que A sea inversible.
Intentar invertir una matriz no cuadrada o una de determinante nulo.
Confundir la matriz nula con la identidad como neutro: la nula lo es de la suma, la identidad del producto.

10Autoevaluación

Si A es 4 × 3 y B es 3 × 5, ¿qué orden tiene A·B? ¿Y B·A?

A·B es 4 × 5. B·A no existe: las dimensiones del medio (5 y 4) no coinciden.

Calcular [[1, 2], [0, 3]] · [[4, 0], [1, 5]].

[[1·4 + 2·1, 1·0 + 2·5], [0·4 + 3·1, 0·0 + 3·5]] = [[6, 10], [3, 15]].

¿Cuándo una matriz cuadrada de orden n tiene inversa?

Cuando su determinante es distinto de cero, que es lo mismo que decir que su rango es n o que sus filas son linealmente independientes.

La inversa de [[3, 1], [2, 1]].

det = 3 − 2 = 1, así que la inversa es [[1, −1], [−2, 3]].

¿Cuál es el rango de [[1, 1], [2, 2]]?

1: la segunda fila es el doble de la primera y se anula al escalonar. Por lo tanto la matriz no tiene inversa, y su determinante es cero.

¿Por qué la matriz de admitancias de una red pasiva es simétrica?

Porque la admitancia entre los nodos i y j es la misma mirada desde cualquiera de los dos: es el teorema de reciprocidad. Deja de ser simétrica si hay elementos activos, como fuentes controladas.

11Para ampliar

Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. El más usado en las facultades de ingeniería argentinas: matrices y determinantes con muchos ejercicios resueltos.
Gilbert Strang. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 4.ª ed., Cengage Learning, 2007. Piensa las matrices como transformaciones y como operaciones por columnas. Sus clases están libres en el OCW del MIT.
David C. Lay. Álgebra lineal y sus aplicaciones. 5.ª ed., Pearson, 2016. Muy claro con el rango, la independencia lineal y las aplicaciones a redes eléctricas.
Frank Ayres. Matrices (serie Schaum). McGraw-Hill. Si lo que falta es práctica: cientos de ejercicios resueltos, cortos y al grano.

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