Vectores en R² y en R³
Fuerzas, campos, velocidades y fasores tienen algo en común: no alcanza un número para describirlos. Hace falta una dirección, y con ella aparece un álgebra propia.
01Cuando un número no alcanza
La temperatura de un ambiente, la resistencia de un resistor o la energía de una batería quedan descriptas con un número y una unidad: son escalares. La fuerza sobre un electrón, el campo eléctrico en un punto o la velocidad de un móvil necesitan además una dirección y un sentido: son vectores.
Un vector se representa con una flecha, pero lo que importa es su terna de datos: módulo, dirección y sentido. Dos flechas dibujadas en lugares distintos representan el mismo vector si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido; por eso se los llama vectores libres.
Entre vectores hay dos productos distintos, y no se pueden confundir: el escalar (o punto), que da un número, y el vectorial (o cruz), que da otro vector. Cada uno responde a una pregunta física diferente: cuánto acompaña un vector al otro, y qué tan perpendiculares son.
02Componentes, módulo y versores
En una terna de ejes perpendiculares, un vector se escribe con sus proyecciones sobre cada eje:
El versor de un vector es ese mismo vector dividido por su módulo: conserva la dirección y el sentido, y mide 1. Sirve para separar «cuánto» de «hacia dónde», que es una de las operaciones más útiles del cálculo vectorial.
Para v = (3, −4, 0): |v| = √(9 + 16) = 5, y su versor es (0,6; −0,8; 0). Comprobación: 0,6² + 0,8² = 0,36 + 0,64 = 1. ✔
03Suma y producto por un escalar
Se suman componente a componente, que es lo mismo que la regla del paralelogramo: dibujar los dos vectores desde un origen común y tomar la diagonal. Multiplicar por un escalar k estira el vector k veces, y si k es negativo le invierte el sentido.
Una combinación lineal mezcla las dos operaciones: a·u + b·v. Es la idea que después se generaliza en espacios vectoriales, y también es lo que hace un circuito cuando superpone la respuesta de dos fuentes.
04Producto escalar: cuánto acompaña uno al otro
- Es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares (con ninguno nulo). Es la forma más rápida de verificar ortogonalidad.
- Es positivo si el ángulo es agudo y negativo si es obtuso.
- Es conmutativo y distributivo, y u · u = |u|².
La proyección de u sobre v —la «sombra» de u en la dirección de v— sale directamente de él:
En física, el trabajo de una fuerza es W = F · d: sólo trabaja la componente de la fuerza que acompaña al desplazamiento. En corriente alterna, la potencia activa es P = |V||I| cos φ, que es exactamente el producto escalar entre los fasores de tensión y de corriente.
05Producto vectorial: qué tan perpendiculares son
Sólo existe en el espacio de tres dimensiones. Da un vector perpendicular al plano de los dos, con el sentido de la regla de la mano derecha, y se calcula como un determinante simbólico:
u × v = −(v × u): invertir el orden invierte el sentido del resultado. Tampoco es asociativo. Es la operación que explica por qué la fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético, F = q·v × B, es perpendicular a la velocidad y al campo a la vez, y por qué un motor gira para un lado y no para el otro.
El producto mixto u · (v × w) es un número: el determinante de la matriz de las tres componentes, y en valor absoluto, el volumen del paralelepípedo. Si vale cero, los tres vectores son coplanares, que es lo mismo que decir que son linealmente dependientes.
06Verlo en el plano
Arrastrá las puntas de los dos vectores. Todo lo de arriba se recalcula en vivo: la suma por el paralelogramo, el producto escalar, el ángulo, la proyección y el área que definen.
Los vectores
Productos
07Vectores en electrónica
- Fasores. Una tensión senoidal se representa con un vector que gira; sumar dos señales de la misma frecuencia es sumar vectores. Es el tema de el estudio vectorial de la corriente alterna.
- Potencias. El triángulo de potencias —activa, reactiva y aparente— es una suma vectorial: S² = P² + Q². La activa sale del producto escalar entre tensión y corriente; la reactiva, de la parte perpendicular.
- Campos. El campo eléctrico y el magnético son campos vectoriales, y las ecuaciones de Maxwell se escriben con productos escalares y vectoriales. El vector de Poynting, que indica hacia dónde fluye la energía de una onda, es S = E × H.
- Mecánica del laboratorio. Fuerzas sobre un soporte, momentos en un motor, aceleraciones: todo Física I es álgebra vectorial aplicada.
08En el laboratorio
Dados u = (2, 3, −1) y v = (−1, 4, 2), calcular a mano el producto escalar, los módulos, el ángulo y la proyección de u sobre v. Verificar el ángulo con el producto vectorial: |u × v| = |u||v| sen θ tiene que dar el mismo θ.
Calcular el área del triángulo de vértices A(1,0,2), B(3,1,0) y C(0,2,1) como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados. Después, agregar un cuarto punto y decidir con el producto mixto si los cuatro son coplanares.
Con una bobina y un imán, comprobar el sentido de la tensión inducida al mover el imán y contrastarlo con lo que predice el producto vectorial de la ley de Faraday. Un osciloscopio o el simulador de instrumental ayudan a ver el signo del pulso.
09Errores frecuentes
- Sumar módulos. |u + v| no es |u| + |v| salvo que sean paralelos y del mismo sentido.
- Confundir los dos productos: el escalar da un número, el vectorial un vector.
- Invertir el orden en el producto vectorial y quedarse con el sentido cambiado.
- Usar el producto vectorial en el plano sin aclarar que se trabaja en R³ con z = 0.
- Olvidar normalizar al proyectar: la proyección lleva |v|² en el denominador, no |v|.
- Mezclar grados y radianes al calcular el ángulo con la calculadora.
10Autoevaluación
Calcular u · v para u = (2, 3, −1) y v = (−1, 4, 2).
−2 + 12 − 2 = 8. Como es positivo, el ángulo entre ellos es agudo.
¿Cuál es el versor de (0, 3, 4)?
Su módulo es 5, así que el versor es (0; 0,6; 0,8).
¿Cuándo vale cero el producto vectorial?
Cuando los vectores son paralelos o antiparalelos, o cuando alguno es el vector nulo. Ahí sen θ = 0 y el paralelogramo se degenera.
Calcular î × ĵ y ĵ × î.
î × ĵ = k̂ y ĵ × î = −k̂: el producto vectorial anticonmuta.
Si u · v = 0 y ninguno es nulo, ¿qué ángulo forman?
90°: son perpendiculares.
¿Qué significa que el producto mixto de tres vectores sea nulo?
Que son coplanares: el paralelepípedo tiene volumen cero y los tres son linealmente dependientes.
11Para ampliar
- Charles H. Lehmann. Geometría analítica. Limusa. El clásico para la parte geométrica: vectores, rectas, planos y cónicas con mucho detalle.
- Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Trata los vectores de R² y R³ como puerta de entrada a los espacios vectoriales.
- Murray R. Spiegel. Análisis vectorial (serie Schaum). 2.ª ed., McGraw-Hill, 2009. Para practicar: cientos de ejercicios resueltos, y sigue hasta gradiente, divergencia y rotor.
- Raymond A. Serway y John W. Jewett. Física para ciencias e ingeniería. 9.ª ed., Cengage Learning, 2014. Dónde se usan de verdad: fuerzas, campos, torques y el producto vectorial en magnetismo.