Álgebra y Geometría Analítica · 120 h · Contenido 5 de 9

Recta y plano

Con un punto y una dirección queda definida una recta; con un punto y una normal, un plano. Todo lo demás son consecuencias de esas dos ideas.

Ecuación vectorial Vector normal Distancias Ángulos Posiciones relativas

01Dos datos alcanzan

Toda la geometría analítica del espacio se apoya en dos ideas simples:

Una recta

Queda definida por un punto y una dirección. La dirección se da con un vector, llamado vector director.

Un plano

Queda definido por un punto y una perpendicular. Esa perpendicular se da con el vector normal.

También hay otras maneras de fijarlos —dos puntos determinan una recta; tres puntos no alineados, un plano—, pero todas terminan reduciéndose a las dos de arriba. Conviene tenerlo presente: casi todos los ejercicios se resuelven consiguiendo el punto y el vector que faltan.

02Ecuaciones de la recta

Con un punto \( P_{0}(x_{0},\ y_{0},\ z_{0}) \) y un director \( \vec{d} = (a,\ b,\ c) \), un punto genérico de la recta se alcanza caminando desde P₀ un múltiplo de d:

\[ \vec{r} = {\vec{r}}_0 + t \vec{d} \quad \begin{array}{c} x = x_0 + a t \\ y = y_0 + b t \\ z = z_0 + c t \end{array} \quad \frac{x -x_0}{a} = \frac{y -y_0}{b} = \frac{z -z_0}{c} \] Vectorial, paramétricas y simétricas: la misma recta escrita de tres maneras. El parámetro t recorre la recta entera cuando va de −∞ a +∞.

Las simétricas fallan si algún componente es cero

No se puede dividir por \( a = 0 \). Si el director es \( (0,\ 2,\ 3) \), la recta se escribe \( x = x_{0} \) junto con las otras dos fracciones. Las paramétricas no tienen ese problema, y por eso son las que conviene usar para trabajar.

En el plano, la misma recta admite además la forma explícita \( y = mx + h \), la implícita \( Ax + By + C = 0 \) y la segmentaria \( x/p + y/q = 1 \), donde p y q son las intersecciones con los ejes.

03Ecuaciones del plano

Si \( \vec{n} = (A,\ B,\ C) \) es normal al plano y P₀ pertenece a él, entonces cualquier punto P del plano cumple que el vector P₀P es perpendicular a n. Escribiendo esa condición con el producto escalar sale todo:

\[ \vec{n} \cdot (\vec{r} -{\vec{r}}_0) = 0 \quad \implies \quad A x + B y + C z + D = 0 \] Los coeficientes de la ecuación general son las componentes de la normal. Leer la normal de un plano es leer los tres primeros números.

Si el plano viene dado por tres puntos, la normal se consigue con un producto vectorial: \( \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \). Si viene dado por dos direcciones contenidas en él, igual. El producto vectorial es la herramienta que pasa de «direcciones dentro del plano» a «dirección perpendicular».

Ejemplo resuelto

Plano por \( A(1,\ 0,\ 2) \), \( B(3,\ 1,\ 0) \) y \( C(0,\ 2,\ 1) \). \( \overrightarrow{AB} = (2,\ 1,\ -2) \) y \( \overrightarrow{AC} = (-1,\ 2,\ -1) \).

\( \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1\cdot(-1) - (-2)\cdot 2;\ (-2)(-1) - 2(-1);\ 2\cdot 2 - 1\cdot(-1)) = (3,\ 4,\ 5) \).

Con el punto A: \( 3(x - 1) + 4(y - 0) + 5(z - 2) = 0 \), es decir \( 3x + 4y + 5z - 13 = 0 \). Verificación con B: \( 9 + 4 + 0 - 13 = 0 \) ✔ y con C: \( 0 + 8 + 5 - 13 = 0 \) ✔

04Posiciones relativas

Entre	Se comparan	Casos
Dos rectas	Los directores y un punto	Paralelas (directores proporcionales y no comparten puntos), coincidentes, secantes (se cortan en un punto) o alabeadas: no se cortan ni son paralelas, algo que sólo existe en el espacio
Recta y plano	\( d \cdot n \)	Si \( \vec{d} \cdot \vec{n} \ne 0 \) se cortan en un punto; si \( \vec{d} \cdot \vec{n} = 0 \), la recta es paralela al plano, y está contenida en él si además uno de sus puntos lo cumple
Dos planos	Las normales	Normales proporcionales: paralelos o coincidentes. Si no, se cortan en una recta

Resolver posiciones relativas es, otra vez, resolver un sistema lineal: dos planos que se cortan son un sistema compatible indeterminado con un parámetro libre —la recta intersección—, y dos planos paralelos distintos dan un sistema incompatible. Todo lo de sistemas de ecuaciones lineales se aplica acá con nombres geométricos.

05Distancias y ángulos

\[ d (P, \pi) = \frac{\left| A x_0 + B y_0 + C z_0 + D \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \quad d (P, r) = \frac{\left| \vec{P_0 P} \times \vec{d} \right|}{\left| \vec{d} \right|} \] La primera es la proyección del vector que va del plano al punto sobre la normal unitaria. La segunda sale del área del paralelogramo dividida por la base.

Ángulo entre dos planos: el ángulo entre sus normales, \( \cos \alpha = |\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2| / (|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|) \).
Ángulo entre dos rectas: el de sus directores, con la misma fórmula.
Ángulo entre recta y plano: el complemento del que forman el director y la normal: \( \operatorname{sen} \alpha = |\vec{d} \cdot \vec{n}| / (|\vec{d}| |\vec{n}|) \).

Laboratorio · plano, punto y otro plano

Los coeficientes son los de la normal. La cuenta aparece desarrollada, no sólo el resultado.

π₁: x + y + z + = 0

P: (; ; )

π₂: x + y + z + = 0

Distancia del punto al plano π₁

Los dos planos entre sí

06Dónde aparece esto

Dibujo y CAD. Toda pieza modelada en tres dimensiones son planos y rectas: las vistas, los cortes y las intersecciones se calculan así. Es el fundamento de dibujo técnico y diseño asistido.
Apuntamiento de antenas. La dirección de máxima radiación es un vector; el ángulo de elevación y el azimut son, exactamente, los ángulos entre ese vector y planos de referencia.
Posicionamiento. Un GPS resuelve la intersección de esferas; una localización por diferencia de tiempos, la intersección de hiperboloides. El planteo es el mismo: geometría analítica con sistemas.
Planos de trabajo. La inclinación óptima de un panel solar, el plano de una placa de circuito impreso respecto del gabinete o el alineamiento de un sensor se calculan con ángulos entre normales.

07En el laboratorio

Práctica 1 · Del punto al plano

Hallar la ecuación del plano que pasa por tres puntos elegidos, verificar que los tres la cumplan y calcular la distancia desde un cuarto punto. Comprobar con el laboratorio de arriba.

Práctica 2 · Rectas alabeadas

Proponer dos rectas del espacio y decidir su posición relativa. Si son alabeadas, calcular la distancia entre ellas con el producto mixto: \( d = |(P_2 - P_1) \cdot (\vec{d}_1 \times \vec{d}_2)| / |\vec{d}_1 \times \vec{d}_2| \).

Práctica 3 · Medirlo en el taller

Tomar una pieza real —un disipador, un gabinete— y describir dos de sus caras como planos usando tres puntos medidos con calibre. Calcular el ángulo entre ambas y contrastarlo con la medición directa con un goniómetro.

08Errores frecuentes

Confundir director con normal. El director va a lo largo de la recta; la normal va perpendicular al plano.
Escribir las simétricas con un cero en el denominador.
Olvidar el valor absoluto en las fórmulas de distancia, y obtener distancias negativas.
Suponer que dos rectas que no se cortan son paralelas: en el espacio pueden ser alabeadas.
No normalizar al proyectar sobre la normal: la distancia lleva el módulo de n en el denominador.
Dar el ángulo entre planos como el de las normales sin tomar valor absoluto, y obtener el suplementario.

09Autoevaluación

¿Cuál es la normal del plano \( 2x - y + 3z = 7 \)?

(2, −1, 3): los coeficientes de x, y y z.

Distancia del origen al plano \( 3x + 4y + 5z - 13 = 0 \).

\( |-13| / \sqrt{9 + 16 + 25} = 13 / \sqrt{50} \approx \mathbf{1{,}84} \).

¿Cómo se decide si una recta es paralela a un plano?

Comprobando que \( \vec{d} \cdot \vec{n} = 0 \). Si además un punto de la recta satisface la ecuación del plano, la recta está contenida en él.

¿Qué son dos rectas alabeadas?

Dos rectas del espacio que no se cortan y no son paralelas: están en planos distintos. En el plano no existen.

Escribir la recta que pasa por (1, 2, 3) con dirección (0, 1, −2) en paramétricas.

\( x = 1,\ y = 2 + t,\ z = 3 - 2t \).

¿Cuál es el ángulo entre los planos \( x + y = 0 \) y \( x - y = 0 \)?

Normales \( (1,\ 1,\ 0) \) y \( (1,\ -1,\ 0) \): \( \cos \alpha = |1 - 1| / (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}) = 0 \), así que \( \alpha = \mathbf{90^\circ } \).

10Para ampliar

Charles H. Lehmann. Geometría analítica. Limusa. El tratamiento clásico de la recta y el plano, con la sistematización de las posiciones relativas.
Stanley I. Grossman. Álgebra lineal. 6.ª ed., McGraw-Hill, 2008. Enfoca la recta y el plano desde los vectores, que es el camino corto para esta materia.
Howard Anton. Introducción al álgebra lineal. 5.ª ed., Limusa Wiley, 2011. Buenas figuras y ejercicios de distancias y ángulos en el espacio.

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