Funciones escalares de varias variables
La temperatura de una placa, el potencial alrededor de dos cargas o la ganancia de un amplificador en función de dos componentes: todas son funciones de varias variables.
01Una salida, varias entradas
La temperatura de una placa depende de dónde se la mida: T(x, y). La potencia disipada por un resistor depende de la tensión y de la resistencia: P(V, R). La ganancia de una etapa depende de dos componentes. Todas son funciones escalares de varias variables: entran dos o más números, sale uno.
El dominio deja de ser un intervalo y pasa a ser una región del plano: el interior de un círculo, un semiplano, el plano menos una recta. Las restricciones son las mismas de siempre —no dividir por cero, no sacar raíz par de negativos, no tomar logaritmo de números no positivos—, sólo que ahora definen una zona.
Para f(x, y) = √(9 − x² − y²), hace falta 9 − x² − y² ≥ 0, es decir x² + y² ≤ 9: el dominio es el disco cerrado de radio 3. La superficie es la media esfera superior de radio 3.
02Curvas de nivel: el mapa de la superficie
Dibujar superficies en un papel es difícil; por eso se las corta. Una curva de nivel es el conjunto de puntos donde f vale una constante: f(x, y) = k. Es exactamente lo que hace un mapa topográfico con la altura del terreno.
| En el mapa | En la superficie | En física |
|---|---|---|
| Curvas muy juntas | Pendiente fuerte | Campo intenso: el gradiente es grande |
| Curvas separadas | Zona casi plana | Campo débil |
| Curvas cerradas que se achican | Un pico o un pozo | Máximo o mínimo local |
| Curvas en forma de X | Un punto de silla | Equilibrio inestable |
Las curvas de nivel de un potencial eléctrico son las equipotenciales, y las líneas de campo las cruzan perpendicularmente. Esa perpendicularidad no es casualidad: se demuestra en el cálculo diferencial de varias variables, cuando aparece el gradiente.
El color es el valor de la función y las líneas son las curvas de nivel. Tocá el mapa para leer el valor en un punto.
03Las superficies que conviene reconocer
| Ecuación | Superficie | Curvas de nivel |
|---|---|---|
| z = ax + by + c | Plano | Rectas paralelas |
| z = x² + y² | Paraboloide (un cuenco) | Circunferencias concéntricas |
| z = x² − y² | Paraboloide hiperbólico: la silla de montar | Hipérbolas |
| x² + y² + z² = R² | Esfera | Circunferencias |
| x² + y² = R² | Cilindro (z libre) | Una circunferencia repetida |
Son las mismas cuádricas que aparecieron en formas cuadráticas, y su clasificación vuelve a depender de los signos de los autovalores. Con tres variables ya no hay gráfico posible: se trabaja con superficies de nivel, f(x, y, z) = k, que para un potencial eléctrico son las superficies equipotenciales.
04Límites: acercarse por todos lados
Acá aparece la diferencia más importante con Análisis I. En una variable, al punto se llega por izquierda o por derecha: dos caminos. En dos variables hay infinitos caminos, y el límite existe sólo si por todos ellos da lo mismo.
Para f(x, y) = xy/(x² + y²) en el origen: acercándose por el eje x (y = 0) el valor es siempre 0; acercándose por la recta y = x queda x²/(2x²) = 1/2.
Dos caminos, dos resultados: el límite no existe, aunque los dos límites iterados den 0. Encontrar dos caminos con resultados distintos es la manera estándar de demostrar que un límite no existe; para demostrar que sí existe hay que acotar, por ejemplo pasando a coordenadas polares.
En polares, con x = ρcos θ e y = ρsen θ, el límite cuando (x, y) → (0, 0) se convierte en un límite cuando ρ → 0. Si el resultado depende de θ, no hay límite; si no depende y la acotación es uniforme, sí.
La continuidad se define igual que antes: f es continua en un punto si el límite existe y coincide con el valor. Y siguen valiendo los teoremas que importan: sumas, productos, cocientes y composiciones de continuas son continuas, y una función continua sobre una región cerrada y acotada alcanza máximo y mínimo.
05Dónde aparecen en electrónica
- Potencial eléctrico. V(x, y, z) es una función escalar de tres variables; sus superficies de nivel son las equipotenciales y su gradiente, cambiado de signo, es el campo eléctrico.
- Mapas térmicos. La temperatura de una plaqueta es T(x, y); las curvas de nivel muestran dónde está el punto caliente, que es lo que ve una cámara termográfica.
- Superficies de respuesta. La ganancia de una etapa en función de dos resistores, o el rendimiento de una fuente en función de la tensión y la corriente de salida: optimizar es buscar el máximo de una superficie.
- Curvas características. La corriente de colector de un transistor depende de dos variables, IC(VCE, IB): la familia de curvas de la hoja de datos es, en realidad, el corte de una superficie. Se ve en transistores bipolares.
06En el laboratorio
Determinar y dibujar el dominio de f(x,y) = ln(x + y), de g(x,y) = 1/√(4 − x² − y²) y de h(x,y) = arc sen(x + y). Indicar en cada caso si es abierto, cerrado y acotado.
Medir con un termómetro infrarrojo la temperatura de una placa con un componente disipando, en una grilla de 5 × 5 puntos, y dibujar las curvas de nivel a mano. Comparar con lo que muestra el laboratorio para la campana de Gauss.
Para f(x,y) = (x²y)/(x⁴ + y²), calcular el límite en el origen por rectas y = mx y después por la parábola y = x². Comprobar que por todas las rectas da 0 y por la parábola da 1/2: las rectas no alcanzan.
07Errores frecuentes
- Concluir que el límite existe porque coincide por varias rectas. Hacen falta todos los caminos, y las rectas son apenas algunos.
- Confundir los límites iterados con el límite doble: pueden existir los dos iterados, ser iguales, y aun así no existir el límite.
- Describir el dominio con una ecuación en lugar de una región.
- Dibujar curvas de nivel sin indicar a qué valor corresponden.
- Olvidar que las curvas de nivel nunca se cruzan: si lo hicieran, un punto tendría dos valores.
08Autoevaluación
Dominio de f(x, y) = ln(9 − x² − y²).
9 − x² − y² > 0, o sea x² + y² < 9: el interior del círculo de radio 3, sin el borde.
¿Qué son las curvas de nivel de z = x² + y²?
Circunferencias concéntricas centradas en el origen: para z = k, de radio √k, con k ≥ 0.
¿Existe el límite de xy/(x² + y²) en el origen?
No: por el eje x da 0 y por la recta y = x da 1/2.
¿Qué representa físicamente una curva de nivel del potencial eléctrico?
Una equipotencial: mover una carga a lo largo de ella no cuesta trabajo, porque el campo es perpendicular a la curva.
Si las curvas de nivel están muy juntas, ¿qué pasa con la función?
Que varía rápido en esa zona: la pendiente —y el módulo del gradiente— es grande.
09Para ampliar
- James Stewart. Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. 7.ª ed., Cengage Learning, 2012. El capítulo 14 arranca con dominios, curvas de nivel y límites, con muchas superficies dibujadas.
- Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Cálculo vectorial. 5.ª ed., Pearson, 2004. Más riguroso con los límites en varias variables y con la topología del dominio.
- Claudio Pita Ruiz. Cálculo vectorial. Prentice Hall. Escrito en castellano y muy detallado en los ejemplos de límites que no existen.